Indique o formato adequado para se buscar a solução particular em cada caso, sem determinar o valor das constantes.
y^prime prime-3 y^prime=1-sen 3 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-3y'=1-sin(3t),
e pede apenas o formato (ansatz) da solução particular, sem calcular as constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, observando possíveis ressonâncias com a solução da homogênea.

Passo 2

Primeiro, a parte forçante 1 é um polinômio de grau zero. O ansatz usual seria
yp1=A,
mas como r=0 é raiz da equação característica r^2-3r=0, há ressonância de ordem 1. Então multiplicamos por t e tomamos
yp1=A,t

Passo 3

Em seguida, a parte forçante -sin(3t) é uma combinação de sin(3t) e cos(3t). A equação característica não tem raízes pm3i, logo não há ressonância. Assim o ansatz é
yp2=Bcos(3t)+Csin(3t)

Resposta

A forma geral do candidato a solução particular é
yp(t)=A,t + Bcos(3t) + Csin(3t)

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