Fazendo uso da substituição, calcule as integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar a técnica de substituição, que é bem útil quando temos funções compostas. Vamos precisar lembrar como escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o logaritmo que está no numerador. Sabemos que
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral $ \int \frac{\ln x}{x} dx $. Para resolver isso, vamos usar a substituição. Vamos deixar $ u = \ln x $. Assim, precisamos encontrar $ du $.
Derivando $ u $ em relação a $ x $:
Isso significa que $ \frac{1}{x} dx = du $.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Isso simplifica nossa integral para uma forma mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, vamos integrar $ u $ com relação a $ du $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que $ u = \ln x $, substituímos de volta para encontrar a expressão em termos de $ x $:
Passo 7
Não nos esquecemos do fator 2 que havia fora da integral originalmente:
Como $ 2C $ ainda é uma constante, podemos simplificar para $ C $.
Resposta
A integral é igual a
.