Fazendo uso da substituição, calcule as integrais:
integral ln x^2x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral ln x^2x dx. A gente vai usar a técnica de substituição, que é bem útil quando temos funções compostas. Vamos precisar lembrar como escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o logaritmo que está no numerador. Sabemos que ln x^2 = 2 ln x. Então, nossa integral fica:
integral 2 ln xx dx = 2 integral ln xx dx

Passo 3

Agora, vamos focar na integral $ \int \frac{\ln x}{x} dx $. Para resolver isso, vamos usar a substituição. Vamos deixar $ u = \ln x $. Assim, precisamos encontrar $ du $.
Derivando $ u $ em relação a $ x $:
integral ln xx dx
Isso significa que $ \frac{1}{x} dx = du $.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral u cdot du
Isso simplifica nossa integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar $ u $ com relação a $ du $:
u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que $ u = \ln x $, substituímos de volta para encontrar a expressão em termos de $ x $:
u = ln x

Passo 7

Não nos esquecemos do fator 2 que havia fora da integral originalmente:
2 cdot ( (ln x)^22 + C ) = (ln x)^2 + 2C
Como $ 2C $ ainda é uma constante, podemos simplificar para $ C $.

Resposta

A integral é igual a (ln x)^2 + C.

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