determine whether the given differential equation is exact. If it is exact, solve it.
Passo 1
Temos a equação dada
O conteúdo é verificar se é uma EDO exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos precisar reescrever na forma diferencial e usar o teste de exatidão.
Passo 2
Reescrevemos na forma
. Primeiro isolamos todos os termos:
Passando tudo para o lado esquerdo,
Logo,
Passo 3
Verificamos a exatidão checando se
:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Agora definimos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 5
Para determinar
, usamos
e igualamos a
. Logo
implica
Integrando em
:
Passo 6
Substituindo de volta em
, obtemos a solução implícita geral:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral implícita é