determine whether the given differential equation is exact. If it is exact, solve it.
(1-3y+x) d yd x+y=3x-1

Passo 1

Temos a equação dada
l(1-3y+xr)dydx+y=3x-1
O conteúdo é verificar se é uma EDO exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos precisar reescrever na forma diferencial e usar o teste de exatidão.

Passo 2

Reescrevemos na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Primeiro isolamos todos os termos:
l(1-tfrac3y+xr)dy=(tfrac3x-1-y)dx
Passando tudo para o lado esquerdo,
-(tfrac3x-1-y),dx+(1-tfrac3y+x),dy=0
Logo,
M(x,y)=y+1-tfrac3x, N(x,y)=1-tfrac3y+x

Passo 3

Verificamos a exatidão checando se partial M/partial y=partial N/partial x:
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Agora definimos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)=y+1-tfrac3x
Integramos em relação a x:
Phi(x,y)=integral (y+1-tfrac3x),dx=xy+x-3ln|x|+h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 5

Para determinar h(y), usamos
partial Phipartial y=x+h'(y)
e igualamos a N(x,y)=x+1-tfrac3y. Logo
x+h'(y)=x+1-tfrac3y
implica
h'(y)=1-tfrac3y
Integrando em y:
h(y)=y-3ln|y|+C1

Passo 6

Substituindo de volta em Phi, obtemos a solução implícita geral:
Phi(x,y)=xy+x-3ln|x|+y-3ln|y|=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral implícita é
xy+x+y-3ln|x|-3ln|y|=C

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