Sendo u e v vetores do R^n, mostre que u é ortogonal a v se, e somente se,
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2
Dê uma interpretação geométrica deste resultado. (Dica: ex. 3 a+ dica ex. 4+ ex. 6).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados vetores u,vinR^n, temos
uperp v Long<=ftrightarrow |,u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2
O que vamos usar é a definição de norma em termos do produto interno, ou seja, para todo winR^n,
|w|^2 = wcdot w,
e as propriedades bilineares e simétricas do produto interno.

Passo 2

Prova da implicação direta. Suponha uperp v, isto é,
ucdot v = 0
Então
|u+v|^2 = (u+v)cdot(u+v) = ucdot u + 2,(ucdot v) + vcdot v = |u|^2 + 2cdot 0 + |v|^2 = |u|^2 + |v|^2

Passo 3

Prova da implicação inversa. Suponha que
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2
Pelo cálculo da soma de norma ao quadrado temos sempre
|u+v|^2 = |u|^2 + 2,(ucdot v) + |v|^2
Comparando com a hipótese,
|u|^2 + 2,(ucdot v) + |v|^2 = |u|^2 + |v|^2 Longrightarrow 2,(ucdot v)=0 Longrightarrow ucdot v=0,
logo uperp v.

Passo 4

Interpretação geométrica. Se posicionamos o vetor v com a sua base na ponta de u, os vetores u e v formam dois catetos de um triângulo, e u+v é o vetor que une a origem à ponta de v. A igualdade
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2
é exatamente o Teorema de Pitágoras, válido quando os catetos são perpendiculares.

Resposta

Mostrou-se que |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 se, e somente se, ucdot v=0, ou seja, uperp v. Geometricamente, essa igualdade é o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelos vetores u e v.

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