Sendo
e
vetores do
, mostre que
é ortogonal a
se, e somente se,
Dê uma interpretação geométrica deste resultado. (Dica: ex.
dica ex.
ex. 6).
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados vetores
, temos
O que vamos usar é a definição de norma em termos do produto interno, ou seja, para todo
,
e as propriedades bilineares e simétricas do produto interno.
Passo 2
Prova da implicação direta. Suponha
, isto é,
Então
Passo 3
Prova da implicação inversa. Suponha que
Pelo cálculo da soma de norma ao quadrado temos sempre
Comparando com a hipótese,
logo
.
Passo 4
Interpretação geométrica. Se posicionamos o vetor
com a sua base na ponta de
, os vetores
e
formam dois catetos de um triângulo, e
é o vetor que une a origem à ponta de
. A igualdade
é exatamente o Teorema de Pitágoras, válido quando os catetos são perpendiculares.
Resposta
Mostrou-se que
se, e somente se,
, ou seja,
. Geometricamente, essa igualdade é o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelos vetores
e
.