Resolva o seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
A gente faz isso encontrando as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
por
na equação diferencial:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
,
. Substituindo:
Então, as raízes são complexas:
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, a segunda condição:
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Simplificando:
Como
, simplifica para:
Agora, aplicando
e
:
Sabendo que
e
:
Resposta
A solução do PVI é: