Resolva o seguinte PVI:
x^prime prime+4 x^prime+5 x=0, x(pi)=0, x^prime(pi)=4-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem:
x'' + 4x' + 5x = 0
E as condições iniciais são:
x(pi) = 0 x'(pi) = -2
Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea:
x'' + 4x' + 5x = 0
A gente faz isso encontrando as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo x por e^rt na equação diferencial:
r^2 + 4r + 5 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 4, c = 5. Substituindo:
r = -4 pm raiz16 - 202 = -4 pm raiz-42 = -4 pm 2i2 = -2 pm i
Então, as raízes são complexas: r = -2 pm i.

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma r = alpha pm beta i, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = e^alpha t (C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t))
No nosso caso, alpha = -2 e beta = 1. Então:
x(t) = e^-2t (C1 cos(t) + C2 sin(t))

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2.
Primeira condição: x(pi) = 0.
Substituindo t = pi:
0 = e^-2pi (C1 cos(pi) + C2 sin(pi))
Sabemos que cos(pi) = -1 e sin(pi) = 0, então:
0 = e^-2pi (-C1) Rightarrow -C1 e^-2pi = 0 Rightarrow C1 = 0

Passo 7

Agora, a segunda condição: x'(pi) = -2.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de x(t):
x(t) = e^-2t (C1 cos(t) + C2 sin(t)) x'(t) = e^-2t (-2)(C1 cos(t) + C2 sin(t)) + e^-2t (-C1 sin(t) + C2 cos(t))
Simplificando:
x'(t) = e^-2t [ -2C1 cos(t) - 2C2 sin(t) - C1 sin(t) + C2 cos(t) ]
Como C1 = 0, simplifica para:
x'(t) = e^-2t [ -2C2 sin(t) + C2 cos(t) ] = C2 e^-2t [ cos(t) - 2 sin(t) ]
Agora, aplicando t = pi e x'(pi) = -2:
-2 = C2 e^-2pi [ cos(pi) - 2 sin(pi) ]
Sabendo que cos(pi) = -1 e sin(pi) = 0:
-2 = C2 e^-2pi (-1) -2 = -C2 e^-2pi 2 = C2 e^-2pi C2 = 2 e^2pi

Resposta

A solução do PVI é:
x(t) = e^-2t ( 2 e^2pi sin(t) ) = 2 e^2(pi - t) sin(t)

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