Resolva o seguinte sistema:
\begin{aligned} \mathrm{w}^{\prime}+\mathrm{y} & =\operatorname{sen} \mathrm{x} \\\ \mathrm{y}^{\prime}-\mathrm{z} & =\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\\ \mathrm{w}+\mathrm{y}+\mathrm{z}^{\prime} & =1 \end{aligned}
Dada a condição inicial: \mathrm{w}(0)=0 ; \mathrm{y}(0)=1 \mathrm{e} \mathrm{z}(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
\begin{cases} w'(x) + y(x) = \sin x,\\\ y'(x) - z(x) = e^x,\\\ w(x) + y(x) + z'(x) = 1, \end{cases}
com condições iniciais w(0)=0, y(0)=1, z(0)=1.
Vamos usar eliminação para obter uma única EDO para w, resolver essa EDO de ordem três, e então voltar a y e z.

Passo 2

Da primeira equação isolo
y = \sin x - w',
e da segunda
z = y' - e^x.
Como y'=(\sin x - w')' = \cos x - w'', segue
z = \cos x - w'' - e^x.
Agora substituo w, w' e z' na terceira equação. Primeiro
z' = (\cos x - w'' - e^x)' = -\sin x - w''' - e^x.
Então
w + y + z' = w + (\sin x - w') + \bigl(-\sin x - w''' - e^x\bigr) =1
simplifica para
w - w' - w''' - e^x = 1 \quad\Longrightarrow\quad w''' + w' - w = -1 - e^x.

Passo 3

Resolvendo
w''' + w' - w = -1 - e^x,
o homogêneo tem caracterísitica
r^3 + r -1 = 0
cuja solução geral w_h é combinação linear de e^{r_i x}. Para a parte particular, suponho
w_p(x) = A + B\,e^x.
Substituo em w'''+w'-w:
  • Para A: LHS =-A, logo -A=-1\implies A=1.
  • Para B e^x: w'''+w'-w = B e^x + B e^x - B e^x = B e^x, logo B e^x=-e^x\implies B=-1.
    Portanto
w_p(x)=1 - e^x,
e a solução geral é
w(x)=w_h(x)+1-e^x.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para anular w_h. Como
w(0)=0,\quad w'(0)=-1,\quad w''(0)=-1,
e de w_p temos
w_p(0)=1-1=0,\quad w_p'(0)=-1,\quad w_p''(0)=-1,
segue que w_h(0)=w_h'(0)=w_h''(0)=0. Pelo sistema de três equações lineares para as constantes de w_h, só resta a solução trivial w_h\equiv0.
Logo
\boxed{w(x)=1 - e^x.}

Passo 5

Da primeira equação y = \sin x - w'. Como w'=-e^x, obtemos
\boxed{y(x)=\sin x + e^x.}

Passo 6

Da segunda equação z = y' - e^x. Calculando y'=\cos x+e^x, tem-se
\boxed{z(x)=\cos x.}

Resposta

w(x)=1 - e^x y(x)=\sin x + e^x z(x)=\cos x

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