Se uma roupa molhada perde a metade de sua umidade durante os cinco primeiros minutos após ser colocada numa secadora e a taxa de perda de umidade é proporcional ao conteúdo dessa mesma umidade, em que instante a roupa estará praticamente seca, ou seja, quando ela terá perdido 95 \% de sua umidade?

Passo 1

O enunciado descreve que a umidade M(t) da roupa decai a uma taxa proporcional ao conteúdo atual, ou seja,
\frac{dM}{dt} = -k\,M,
e que em t=5 minutos ela fica pela metade. Queremos achar o instante t em que ela perde 95\% da umidade, isto é, quando M(t)=0{,}05\,M_0, em que M_0 é a umidade inicial.

Passo 2

Para resolver
\frac{dM}{dt} = -k\,M
separamos variáveis e integramos:
\int \frac{dM}{M} = -k \int dt \quad\Longrightarrow\quad \ln M = -k\,t + C.
Exponenciando e usando M(0)=M_0
M(t) = M_0 e^{-k\,t}.

Passo 3

Usamos a condição de que aos 5 minutos a umidade caiu para a metade:
M(5) = M_0 e^{-5k} = \frac{M_0}{2} \quad\Longrightarrow\quad e^{-5k} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{5}.

Passo 4

Queremos o tempo t_p tal que M(t_p)=0{,}05\,M_0. Da solução geral:
M_0 e^{-k\,t_p} = 0{,}05\,M_0 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k\,t_p} = 0{,}05 = \frac{1}{20} \quad\Longrightarrow\quad -k\,t_p = \ln\!\bigl(\tfrac1{20}\bigr) = -\ln 20
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t_p = \frac{\ln 20}{k}.

Passo 5

Substituindo k = \tfrac{\ln 2}{5} em t_p:
t_p = \frac{\ln 20}{\tfrac{\ln 2}{5}} = 5\,\frac{\ln 20}{\ln 2} \approx 5 \times 4{,}3219 \approx 21{,}6\text{ minutos}.

Resposta

A roupa estará praticamente seca (95 % de perda) após cerca de 21{,}6 minutos.

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