Desenvolva a expressão para esvaziamento de um tanque hemisférico de raio R cuja concavidade é voltada para cima e o esvaziamento ocorre pela parte inferior.
Passo 1
O enunciado pede para modelar o esvaziamento de um tanque hemisférico de raio
, com concavidade voltada para cima, por um orifício de área
localizado na base. Vamos usar o teorema de Torricelli (velocidade de saída
) e a equação da continuidade (
vazão de saída), além da geometria do volume em função da altura de água
.
Passo 2
Para uma altura de água
, a seção transversal do hemisfério a uma distância
do fundo tem raio
portanto sua área é
Passo 3
O volume de água até a altura
varia segundo
Passo 4
Pelo teorema de Torricelli, a velocidade de saída é
, logo a vazão volumétrica é
e, adotando sinal negativo para saída,
Igualando com o passo anterior,
Passo 5
Substituindo
,
e separando variáveis,
Passo 6
Integrando de
até
para obter o tempo
:
No integrando,
. Assim
Logo
Passo 7
No caso de esvaziar totalmente a partir de
, substituímos
e simplificamos:
Resposta
A equação diferencial que governa a altura
é
e o tempo de esvaziamento total, partindo de
, vale