Desenvolva a expressão para esvaziamento de um tanque hemisférico de raio R cuja concavidade é voltada para cima e o esvaziamento ocorre pela parte inferior.

Passo 1

O enunciado pede para modelar o esvaziamento de um tanque hemisférico de raio R, com concavidade voltada para cima, por um orifício de área a localizado na base. Vamos usar o teorema de Torricelli (velocidade de saída \sqrt{2gh}) e a equação da continuidade ( dV/dt = -vazão de saída), além da geometria do volume em função da altura de água h(t).

Passo 2

Para uma altura de água h, a seção transversal do hemisfério a uma distância h do fundo tem raio
r(h)=\sqrt{R^2-(R-h)^2}=\sqrt{2Rh-h^2},
portanto sua área é
A(h)=\pi\,r(h)^2=\pi\,(2Rh-h^2).

Passo 3

O volume de água até a altura h varia segundo
\frac{dV}{dt}=A(h)\,\frac{dh}{dt}.

Passo 4

Pelo teorema de Torricelli, a velocidade de saída é \sqrt{2gh}, logo a vazão volumétrica é
Q_\text{out}=a\,\sqrt{2gh}
e, adotando sinal negativo para saída,
\frac{dV}{dt}=-\,a\,\sqrt{2gh}.
Igualando com o passo anterior,
A(h)\,\frac{dh}{dt}=-\,a\,\sqrt{2gh}.

Passo 5

Substituindo A(h)=\pi(2Rh-h^2),
\pi\,(2Rh-h^2)\,\frac{dh}{dt}=-\,a\,\sqrt{2g}\,\sqrt{h}
e separando variáveis,
\pi\,(2Rh-h^2)\,\frac{dh}{\sqrt{h}} =-\,a\,\sqrt{2g}\;dt.

Passo 6

Integrando de h=h_0 até h=0 para obter o tempo T:
T=\frac{\pi}{a\sqrt{2g}} \int_{0}^{h_0}\frac{2Rh-h^2}{\sqrt{h}}\,dh.
No integrando, (2Rh-h^2)/\sqrt h =2R\,h^{1/2}-h^{3/2}. Assim
\int_{0}^{h_0}(2R\,h^{1/2}-h^{3/2})\,dh =\frac{4R}{3}h_0^{3/2}-\frac{2}{5}h_0^{5/2}.
Logo
T=\frac{\pi}{a\sqrt{2g}} \Bigl(\frac{4R}{3}h_0^{3/2}-\frac{2}{5}h_0^{5/2}\Bigr).

Passo 7

No caso de esvaziar totalmente a partir de h_0=R, substituímos h_0=R e simplificamos:
T_{\rm total} =\frac{\pi}{a\sqrt{2g}} \Bigl(\frac{4R}{3}R^{3/2}-\frac{2}{5}R^{5/2}\Bigr) =\frac{\pi R^{5/2}}{a\sqrt{2g}}\Bigl(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}\Bigr) =\frac{14\pi\,R^{5/2}}{15\,a\sqrt{2g}}.

Resposta

A equação diferencial que governa a altura h(t) é
\pi\,(2Rh-h^2)\,\frac{dh}{dt}=-\,a\,\sqrt{2g\,h},
e o tempo de esvaziamento total, partindo de h(0)=R, vale
T_{\rm total} =\frac{14\pi\,R^{5/2}}{15\,a\sqrt{2g}}.

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