Resolva o seguinte sistema de equações.
l3 d xd t+3 x+2 y=e^t 4 x-3 d yd t+3 y=3 t

Passo 1

Temos um sistema de EDOs lineares de primeira ordem acopladas em x(t) e y(t):
3dxdt+3x+2y=e^t, 4x-3dydt+3y=3t
O conteúdo é resolução de sistema de equações diferenciais lineares e vamos precisar usar eliminação, derivação e redução a uma única EDO de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, isolamos x' e y' para tornar o sistema explícito:
Da primeira equação:
3x'+3x+2y=e^t
x'= -x-tfrac23y+tfrac13e^t
Da segunda equação:
4x-3y'+3y=3t
y'= tfrac43x+y-t

Passo 3

Agora derivamos a expressão de x' em relação a t para obter x'' e então substituir y':
x''=ddtl(-x-tfrac23y+tfrac13e^tr) =-x'-tfrac23y'+tfrac13e^t
Substituindo y' = tfrac43x+y-t e a expressão de x' original, obtemos uma equação só em x.

Passo 4

Substituindo e reorganizando os termos elimina-se y, resultando em:
x''-tfrac19x=tfrac23t
Essa é uma EDO linear não homogênea de segunda ordem para x(t).

Passo 5

Resolvemos primeiro a homogênea:
r^2-tfrac19=0implies r=pmtfrac13
Logo
xh=C1e^t/3+C2e^-t/3
Para o particular, suponha xp=At+B. Substituindo em x''-tfrac19x=tfrac23t dá:
0-tfrac19(At+B)=tfrac23t
-A=6implies A=-6, B=0
Então
xp=-6t
Portanto
x(t)=C1e^t/3+C2e^-t/3-6t

Passo 6

Para encontrar y(t), usamos da primeira equação:
y=-tfrac3x'+3x2+tfrace^t2=-tfrac32x'-tfrac32x+tfrac12e^t
Calculando x' e substituindo x e x' nessa fórmula, obtemos
y(t)=-2C1e^t/3-C2e^-t/3+9t+9+tfrac12e^t

Passo 7

Essas soluções formam a solução geral do sistema. A constante C1 e C2 são determinadas por condições iniciais (não fornecidas).

Resposta

x(t)=C_1e{t/3}+C_2e{-t/3}-6t,\quad y(t)=-2C_1e{t/3}-C_2e{-t/3}+9t+9+\tfrac{1}{2}e^t

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