Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
Temos um sistema de EDOs lineares de primeira ordem acopladas em
e
:
O conteúdo é resolução de sistema de equações diferenciais lineares e vamos precisar usar eliminação, derivação e redução a uma única EDO de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, isolamos
e
para tornar o sistema explícito:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 3
Agora derivamos a expressão de
em relação a
para obter
e então substituir
:
Substituindo
e a expressão de
original, obtemos uma equação só em
.
Passo 4
Substituindo e reorganizando os termos elimina-se
, resultando em:
Essa é uma EDO linear não homogênea de segunda ordem para
.
Passo 5
Resolvemos primeiro a homogênea:
Logo
Para o particular, suponha
. Substituindo em
dá:
Então
Portanto
Passo 6
Para encontrar
, usamos da primeira equação:
Calculando
e substituindo
e
nessa fórmula, obtemos
Passo 7
Essas soluções formam a solução geral do sistema. A constante
e
são determinadas por condições iniciais (não fornecidas).
Resposta
x(t)=C_1e{t/3}+C_2e{-t/3}-6t,\quad y(t)=-2C_1e{t/3}-C_2e{-t/3}+9t+9+\tfrac{1}{2}e^t