Usando o método da transformada de Laplace, resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t+d yd t-4 y=1 x+d yd t-3 y=t^2 x(0)=2, y(0)=-2

Passo 1

O problema é um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais, e a estratégia é usar a transformada de Laplace para passar do domínio do tempo ao domínio de s, resolver um sistema algébrico para X(s) e Y(s), e depois voltar ao tempo.

Passo 2

Vamos usar as propriedades básicas da transformada de Laplace: para uma função x(t) com x(0)=x₀ vale Lx'(t)=sX(s)-x₀, e sabemos que Lt^n=n!/s^n+1. Aplicando L em cada equação do sistema e usando x(0)=2, y(0)=-2:

Passo 3

Obtemos o sistema algébrico em X(s) e Y(s):
[ sX(s)+\bigl(s-4\bigr)Y(s)=\frac1s ],
[ X(s)+\bigl(s-3\bigr)Y(s)=\frac{2}{s^3}-2 ].

Passo 4

Agora resolvemos esse sistema no domínio s. Por substituição (ou regra de Cramer) chega-se a
[ Y(s)=\frac{-2s^3 - s +2}{s2,(s-2)2} ],
[ X(s)=\frac{1}{4s}+\frac{3}{2s2}+\frac{2}{s3}+\frac{7}{4(s-2)}-\frac{4}{(s-2)^2} ].

Passo 5

Para Y(s) fazemos frações parciais do tipo
Y(s)=As+Bs^2+Cs-2+D(s-2)^2
Encontramos
A=tfrac14, B=tfrac12, C=-tfrac94, D=-4.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa a cada termo de Y(s) obtemos
y(t)=14+12,t-94e^2t-4t,e^2t

Passo 7

De modo análogo, invertemos termo a termo X(s):
x(t)=14+32,t+t^2+74e^2t-4t,e^2t

Resposta

x(t)=t^2+tfrac32t+tfrac14+tfrac74e^2t-4t,e^2t, y(t)=tfrac12t+tfrac14-tfrac94e^2t-4t,e^2t

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