Usando o método da transformada de Laplace, resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
O problema é um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais, e a estratégia é usar a transformada de Laplace para passar do domínio do tempo ao domínio de s, resolver um sistema algébrico para X(s) e Y(s), e depois voltar ao tempo.
Passo 2
Vamos usar as propriedades básicas da transformada de Laplace: para uma função x(t) com x(0)=x₀ vale Lx'(t)=sX(s)-x₀₀, e sabemos que Lt^n=n!/s^n+1. Aplicando L em cada equação do sistema e usando x(0)=2, y(0)=-2:
Passo 3
Obtemos o sistema algébrico em X(s) e Y(s):
[ sX(s)+\bigl(s-4\bigr)Y(s)=\frac1s ],
[ X(s)+\bigl(s-3\bigr)Y(s)=\frac{2}{s^3}-2 ].
Passo 4
Agora resolvemos esse sistema no domínio s. Por substituição (ou regra de Cramer) chega-se a
[ Y(s)=\frac{-2s^3 - s +2}{s2,(s-2)2} ],
[ X(s)=\frac{1}{4s}+\frac{3}{2s2}+\frac{2}{s3}+\frac{7}{4(s-2)}-\frac{4}{(s-2)^2} ].