Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t=e^t d yd t=x-yt

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs dado por dxdt=e^t e dydt=x-yt. O conteúdo é integração de EDOs de primeira ordem, primeiro encontrando x(t) e depois usando esse resultado para resolver a equação que define y(t).

Passo 2

Integramos a primeira equação dxdt=e^t. Sabemos que a integral de e^t em relação a t é e^t, logo
x(t)=e^t+C1

Passo 3

Agora usamos x(t) na segunda equação. Substituindo x=e^t+C1 em dydt=x-yt obtemos
dydt=e^t+C1 - yt

Passo 4

Reescrevemos como uma EDO linear em y:
dydt+1ty=e^t+C1t

Passo 5

O fator integrante é mu(t)=e^integral 1tdt=t. Multiplicando toda a equação por t
tdydt+y=e^t+C1

Passo 6

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de t,y:
ddtl(t,yr)=e^t+C1

Passo 7

Integramos em relação a t:
t,y=integral e^t dt + integral C1 dt = e^t + C1t + C2

Passo 8

Isolando y temos
y(t)=e^tt+C1+C2t

Resposta

As soluções gerais são
x(t)=e^t+C1,
y(t)=e^tt+C1+C2t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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