Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs dado por
e
. O conteúdo é integração de EDOs de primeira ordem, primeiro encontrando
e depois usando esse resultado para resolver a equação que define
.
Passo 2
Integramos a primeira equação
. Sabemos que a integral de
em relação a
é
, logo
Passo 3
Agora usamos
na segunda equação. Substituindo
em
obtemos
Passo 4
Reescrevemos como uma EDO linear em
:
Passo 5
O fator integrante é
. Multiplicando toda a equação por
dá
Passo 6
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de
:
Passo 7
Integramos em relação a
:
Passo 8
Isolando
temos
Resposta
As soluções gerais são
onde