Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t=x+sen(t) d yd t=t-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares de primeira ordem dado por
dxdt=x+sen(t) dydt=t-y
Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares de 1º ordem e vamos usar o fator integrante para cada equação separadamente.

Passo 2

Primeiro vamos isolar a equação de x:
dxdt-x=sen(t)
O fator integrante é mu(t)=e^-t, de modo que
ddtl(xe^-tr)=sen(t)e^-t

Passo 3

Agora calculamos a integral de sen(t)e^-t:
Usando a fórmula integral e^atsin(bt),dt=e^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r)+C com a=-1 e b=1, obtemos
integral e^-tsin(t),dt=e^-t2(-sin t-cos t)+C
Logo,
xe^-t= -e^-t2(sin t+cos t)+C1
e multiplicando por e^t:
x(t)=C1e^t-tfrac12(sin t+cos t)

Passo 4

Agora a equação de y:
dydt+y=t
O fator integrante é e^t, então
ddtl(ye^tr)=te^t
Integrando integral te^tdt=(t-1)e^t+C, vem
ye^t=(t-1)e^t+C2
e dividindo por e^t:
y(t)=t-1+C2e^-t

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=C1e^t-tfrac12(sin t+cos t), y(t)=t-1+C2e^-t,
com constantes arbitrárias C1 e C2.

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