Represente o número complexo z=-2+j 2 na forma polar.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=-2+j\,2 e pede que ele seja representado na forma polar.
Informações fornecidas:
  • Parte real: \Re(z)=-2.
  • Parte imaginária: \Im(z)=2.
O que precisamos encontrar:
  • O módulo r=|z|.
  • O argumento (ângulo) \theta adequado para representar z em polar.

Passo 2

Fórmula e cálculo do módulo.
A definição do módulo de um número complexo z=\Re(z)+j\Im(z) é
|z|=\sqrt{\Re(z)^2+\Im(z)^2},
onde \Re(z) é a parte real e \Im(z) é a parte imaginária. Aqui \Re(z)=-2 e \Im(z)=2. Então
|z|=\sqrt{(-2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
(Como referência numérica, 2\sqrt{2}\approx2{,}828.)

Passo 3

Fórmula e cuidado com o argumento.
Uma fórmula comum para o argumento é
\theta=\arctan\!\left(\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\right),
mas essa expressão dá um ângulo que pode estar no quadrante errado porque \arctan retorna valores entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Por isso, na prática usa-se a função \operatorname{atan2}(\Im(z),\Re(z)) ou se ajusta o resultado de \arctan conforme o quadrante.
Aqui \Re(z)=-2<0 e \Im(z)=2>0, ou seja, o ponto (-2,2) está no segundo quadrante. Vamos calcular
\arctan\!\left(\frac{2}{-2}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.
Como estamos no segundo quadrante (real negativa, imaginária positiva), devemos somar \pi ao valor obtido por \arctan. Então
\theta=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}.
Em graus, \theta=\tfrac{3\pi}{4}=135^\circ. (Também se pode dizer de forma geral \theta=\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}.)

Passo 4

Escrevendo a forma polar e verificando.
A forma trigonométrica (polar) de z é
z = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big).
Substituindo r=2\sqrt{2} e \theta=\tfrac{3\pi}{4} obtemos
z = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+j\sin\frac{3\pi}{4}\right).
Para verificar rapidamente, use os valores \cos\frac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin\frac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + j\,2\sqrt{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2 + j\,2,
o que confirma que a representação está correta.
Também é comum usar a forma exponencial:
z = r\,e^{j\theta} = 2\sqrt{2}\,e^{j\frac{3\pi}{4}}.

Resposta

z=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+j\sin\frac{3\pi}{4}\right)
z=2\sqrt{2}\,e^{j\frac{3\pi}{4}}

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