Resolva o seguinte sistema l2^x+3^y=11 2^x-3^y=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações exponenciais abaixo, envolvendo potências de base 2 e 3. O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares por soma e diferença, aliado ao conceito de função exponencial:
2^x + 3^y = 11 2^x - 3^y = 5

Passo 2

Para simplificar, definimos as variáveis auxiliares A = 2^x e B = 3^y. Com isso, o sistema vira um sistema linear em A e B:
A + B = 11 A - B = 5

Passo 3

Somamos as duas equações para eliminar B:
(A + B) + (A - B) = 11 + 5 Rightarrow 2A = 16 Rightarrow A = 8
Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar A:
(A + B) - (A - B) = 11 - 5 Rightarrow 2B = 6 Rightarrow B = 3

Passo 4

Voltamos às definições: temos 2^x = A = 8 e 3^y = B = 3. Agora aplicamos o logaritmo ou reconhecemos potências:
2^x = 8 = 2^3 Rightarrow x = 3
3^y = 3 = 3^1 Rightarrow y = 1

Resposta

(x, y) = (3, 1)

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