Resolva o seguinte sistema linear utilizando a Eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{rll} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3}+x_{4} & =3 \\\\ 8 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3}+5 x_{4} & =1 \\\\ 6 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3}+8 x_{4} & =-4 \end{array}\right.

Passo 1

Resumimos o enunciado: resolver por Eliminação de Gauss o sistema
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=2,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}+3x_{3}+x_{4}=3,\\\\ 8x_{1}+7x_{2}+9x_{3}+5x_{4}=1,\\\\ 6x_{1}+7x_{2}+9x_{3}+8x_{4}=-4. \end{cases}
Vamos montar a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 &\vrule& 2\\\\ 4 & 3 & 3 & 1 &\vrule& 3\\\\ 8 & 7 & 9 & 5 &\vrule& 1\\\\ 6 & 7 & 9 & 8 &\vrule& -4 \end{pmatrix}
e aplicar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Usamos a primeira linha como pivô e zeramos as entradas embaixo de a_{11}=2 com
L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1},\quad L_{3}\leftarrow L_{3}-4L_{1},\quad L_{4}\leftarrow L_{4}-3L_{1}.
Isso transforma a matriz em
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 &\vrule& 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 &\vrule& -1\\\\ 0 & 3 & 5 & 5 &\vrule& -7\\\\ 0 & 4 & 6 & 8 &\vrule& -10 \end{pmatrix}.

Passo 3

O pivô da segunda coluna é agora a_{22}=1. Zeramos abaixo com
L_{3}\leftarrow L_{3}-3L_{2},\quad L_{4}\leftarrow L_{4}-4L_{2},
obtendo
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 &\vrule& 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 &\vrule& -1\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 &\vrule& -4\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 &\vrule& -6 \end{pmatrix}.

Passo 4

O pivô da terceira coluna é a_{33}=2. Eliminamos a única entrada abaixo com
L_{4}\leftarrow L_{4}-L_{3},
chegando à forma triangular superior
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 &\vrule& 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 &\vrule& -1\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 &\vrule& -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 &\vrule& -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Fazemos retro-substituição:
Da quarta linha, 2x_{4}=-2 implica
x_{4}=-1.
Na terceira linha, 2x_{3}+2x_{4}=-4
2x_{3}+2(-1)=-4\implies2x_{3}=-2\implies x_{3}=-1.
Na segunda linha, x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1
x_{2}+(-1)+(-1)=-1\implies x_{2}=1.
Na primeira linha, 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=2
2x_{1}+1+(-1)=2\implies2x_{1}=2\implies x_{1}=1.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(1,\,1,\,-1,\,-1)

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