Fatore a matriz abaixo em um produto de matrizes utilizando o Método de Cholesky:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 8 & 12 \\\\ 3 & 12 & 27 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[6pt] 2 & 8 & 12 \\[6pt] 3 & 12 & 27 \end{pmatrix}
como um produto A = LL^T usando o método de Cholesky. Aqui sabemos que o método de Cholesky se aplica a matrizes simétricas e definidas positivas, e consiste em construir uma matriz triangular inferior L cujas entradas satisfazem A = LL^T.]

Passo 2

Verificamos que A é simétrica e que todos os menores principais são positivos:
\det\bigl([a_{11}]\bigr)=1>0, \quad \det\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&8\end{pmatrix}=1\cdot8-2\cdot2=4>0,
e já é conhecido (ou pode-se calcular) que \det A=36>0. Logo, A é definida positiva.

Passo 3

No método de Cholesky escrevemos
L = \begin{pmatrix} l_{11}&0&0\\[4pt] l_{21}&l_{22}&0\\[4pt] l_{31}&l_{32}&l_{33} \end{pmatrix}.
Começamos por
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{1} = 1, \quad l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{2}{1} = 2, \quad l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{3}{1} = 3.]

Passo 4

Em seguida calculamos
l_{22} \;=\;\sqrt{a_{22} - l_{21}^2} \;=\;\sqrt{8 - 2^2} \;=\;\sqrt{4} \;=\;2,
l_{32} \;=\;\frac{a_{32} - l_{31}l_{21}}{l_{22}} \;=\;\frac{12 - 3\cdot2}{2} \;=\;\frac{6}{2} \;=\;3.

Passo 5

Por fim, achamos
l_{33} =\sqrt{a_{33} - l_{31}^2 - l_{32}^2} =\sqrt{27 - 3^2 - 3^2} =\sqrt{27 - 9 - 9} =\sqrt{9} =3.

Passo 6

Reunindo todos os l_{ij}, obtemos
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 2 & 0 \\[4pt] 3 & 3 & 3 \end{pmatrix},
e de fato
LL^T =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 2 & 0 \\[4pt] 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 8 & 12 \\[4pt] 3 & 12 & 27 \end{pmatrix} = A.]

Resposta

A = LL^T, \quad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 2 & 0 \\[4pt] 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.]

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