Utilize o Método de Gauss Jacobi para determinar aproximações de x^{(k)}, começando com x^{(0)}=(0,0,0,0)^{t} até a 4^{\text {a }} iteração para o sistema:
\left\{\begin{array}{c} 10 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=6 \\\\ -x_{1}+11 x_{2}-x_{3}=25 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}-x_{4}=-11 \\\\ 3 x_{2}-x_{3}+8 x_{4}=15 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Gauss–Jacobi ao sistema
\begin{cases} 10x_1 - x_2 + 2x_3 = 6,\\\\ -\,x_1 +11x_2 - x_3 = 25,\\\\ 2x_1 - x_2 +10x_3 - x_4 = -11,\\\\ 3x_2 - x_3 +8x_4 = 15, \end{cases}
começando de x^{(0)}=(0,0,0,0)^t até a quarta iteração. O conteúdo aqui é o método iterativo de Gauss–Jacobi, que exige isolar cada variável numa forma do tipo x_i = (\text{soma dos termos não diagonais mais o termo independente})/\text{coeficiente diagonal}ã. Como a matriz é estritamente diagonalmente dominante pelas linhas, o método converge.

Passo 2

Isolando cada incógnita, obtemos
x_1 = \frac{6 + x_2 - 2x_3}{10},\quad x_2 = \frac{25 + x_1 + x_3}{11},\quad x_3 = \frac{-11 -2x_1 + x_2 + x_4}{10},\quad x_4 = \frac{15 -3x_2 + x_3}{8}.

Passo 3

O esquema iterativo de Gauss–Jacobi é
x_1^{(k+1)} = \frac{6 + x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}}{10},\quad x_2^{(k+1)} = \frac{25 + x_1^{(k)} + x_3^{(k)}}{11},
x_3^{(k+1)} = \frac{-11 -2x_1^{(k)} + x_2^{(k)} + x_4^{(k)}}{10},\quad x_4^{(k+1)} = \frac{15 -3x_2^{(k)} + x_3^{(k)}}{8}.

Passo 4

Para k=0, x^{(0)}=(0,0,0,0), temos
x^{(1)} = \bigl(x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)},x_4^{(1)}\bigr) = \Bigl(\tfrac{6+0-0}{10},\,\tfrac{25+0+0}{11},\,\tfrac{-11-0+0+0}{10},\,\tfrac{15-0+0}{8}\Bigr) \approx (0{,}6000,\;2{,}2727,\;-1{,}1000,\;1{,}8750).

Passo 5

Para k=1 usamos x^{(1)} e obtemos
x^{(2)} \approx \Bigl(\tfrac{6+2{,}2727-2(-1{,}1000)}{10},\, \tfrac{25+0{,}6000-1{,}1000}{11},\, \tfrac{-11-2(0{,}6000)+2{,}2727+1{,}8750}{10},\, \tfrac{15-3(2{,}2727)-1{,}1000}{8}\Bigr) \approx (1{,}0473,\;2{,}2273,\;-0{,}8052,\;0{,}8852).

Passo 6

Para k=2 partimos de x^{(2)} e calculamos
x^{(3)} \approx \Bigl(\tfrac{6+2{,}2273-2(-0{,}8052)}{10},\, \tfrac{25+1{,}0473-0{,}8052}{11},\, \tfrac{-11-2(1{,}0473)+2{,}2273+0{,}8852}{10},\, \tfrac{15-3(2{,}2273)-0{,}8052}{8}\Bigr) \approx (0{,}9838,\;2{,}2947,\;-0{,}9982,\;0{,}9391).

Passo 7

Para k=3 partindo de x^{(3)} obtemos
x^{(4)} \approx \Bigl(\tfrac{6+2{,}2947-2(-0{,}9982)}{10},\, \tfrac{25+0{,}9838-0{,}9982}{11},\, \tfrac{-11-2(0{,}9838)+2{,}2947+0{,}9391}{10},\, \tfrac{15-3(2{,}2947)-0{,}9982}{8}\Bigr) \approx (1{,}0291,\;2{,}2714,\;-0{,}9734,\;0{,}8897).

Resposta

As aproximações pelas quatro primeiras iterações de Gauss–Jacobi são:
x^{(1)} \approx (0{,}6000,\;2{,}2727,\;-1{,}1000,\;1{,}8750)
x^{(2)} \approx (1{,}0473,\;2{,}2273,\;-0{,}8052,\;0{,}8852)
x^{(3)} \approx (0{,}9838,\;2{,}2947,\;-0{,}9982,\;0{,}9391)
x^{(4)} \approx (1{,}0291,\;2{,}2714,\;-0{,}9734,\;0{,}8897)

Exercícios relacionados