Resolva o seguinte sistema usando a transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações:
Aqui, estamos lidando com derivadas de primeira ordem das funções $ x(t) $ e $ y(t) $. Para resolver, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em algébricas, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace na primeira equação dotx = y. Lembrando que a transformada de Laplace da derivada dotx é:
Ldotx = sX(s) - x(0)
Então, aplicando na equação:
sX(s) - x(0) = Y(s)
Sabemos que $ x(0) = 1 $, então:
x(0) = 1
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada de Laplace na segunda equação doty = x:
Ldoty = sY(s) - y(0)
Então:
sY(s) - y(0) = X(s)
Sabemos que $ y(0) = 0 $, então:
y(0) = 0
Passo 4
Agora temos duas expressões para $ Y(s) $:
$ Y(s) = sX(s) - 1 $
$ Y(s) = \frac{X(s)}{s} $
Vamos igualar as duas:
Y(s)
Multiplicando ambos os lados por $ s $ para eliminar o denominador: