Resolva o seguinte sistema usando a transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações:
c dotx = y doty = x x(0) = 1, y(0) = 0
Aqui, estamos lidando com derivadas de primeira ordem das funções $ x(t) $ e $ y(t) $. Para resolver, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em algébricas, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace na primeira equação dotx = y. Lembrando que a transformada de Laplace da derivada dotx é:
Ldotx = sX(s) - x(0)
Então, aplicando na equação:
sX(s) - x(0) = Y(s)
Sabemos que $ x(0) = 1 $, então:
x(0) = 1

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace na segunda equação doty = x:
Ldoty = sY(s) - y(0)
Então:
sY(s) - y(0) = X(s)
Sabemos que $ y(0) = 0 $, então:
y(0) = 0

Passo 4

Agora temos duas expressões para $ Y(s) $:
  1. $ Y(s) = sX(s) - 1 $
  2. $ Y(s) = \frac{X(s)}{s} $
Vamos igualar as duas:
Y(s)
Multiplicando ambos os lados por $ s $ para eliminar o denominador:
Y(s) = sX(s) - 1

Passo 5

Vamos isolar $ X(s) $:
X(s)
Fatorando $ X(s) $:
s^2 X(s) - X(s) = s
Então:
X(s)

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ Y(s) $ usando $ Y(s) = \frac{X(s)}{s} $:
Y(s)

Passo 7

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas para $ X(s) $ e $ Y(s) $.
Para $ X(s) = \frac{s}{s^2 - 1} $, sabemos que:
X(s)
No nosso caso, $ a = 1 $:
Y(s)
Para $ Y(s) = \frac{1}{s^2 - 1} $, usamos:
X(s) = ss^2 - 1
Com $ a = 1 $:
L^-1ss^2 - a^2 = cosh(a t)

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = cosh(t) y(t) = sinh(t)

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