Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
,
Passo 1
Temos a equação de segunda ordem não linear
O conteúdo é redução de ordem: vamos usar a substituição v= y’ para transformar em uma equação de primeira ordem.
Passo 2
Definimos
então
Passo 3
Substituindo na equação original:
que fica
Passo 4
Fatorando v:
Isso gera dois ramos:
- v=0
- y\frac{dv}{dy}+v=0
Passo 5
No caso v=0 temos y’=0, logo y= C_2 (constante). Esse caso está incluído na forma geral que vamos obter.
Passo 6
No caso não trivial:
separamos variáveis:
Integramos:
ou seja
Passo 7
Voltando a v= y’ temos
Separamos de novo:
Integramos:
Logo
Resposta
A solução geral é
ou seja
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.