Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
y y^prime prime+(y^prime)^2=0,

Passo 1

Temos a equação de segunda ordem não linear
y,y''+(y')^2=0
O conteúdo é redução de ordem: vamos usar a substituição v= y’ para transformar em uma equação de primeira ordem.

Passo 2

Definimos
v = y',
então
y'' = dvdx = dvdydydx = vdvdy

Passo 3

Substituindo na equação original:
yl(vdvdyr)+(v)^2=0
que fica
y,vdvdy+v^2=0

Passo 4

Fatorando v:
vl(ydvdy+vr)=0
Isso gera dois ramos:
  1. v=0
  2. y\frac{dv}{dy}+v=0

Passo 5

No caso v=0 temos y’=0, logo y= C_2 (constante). Esse caso está incluído na forma geral que vamos obter.

Passo 6

No caso não trivial:
ydvdy+v=0
separamos variáveis:
dvv=-dyy
Integramos:
ln|v|=-ln|y|+ln|C1|
ou seja
v=C1y

Passo 7

Voltando a v= y’ temos
dydx=C1y
Separamos de novo:
y,dy=C1,dx
Integramos:
y^22=C1 x + C2
Logo
y^2 = 2C1 x + 2C2

Resposta

A solução geral é
y^2 = 2C1 x + 2C2,
ou seja
y(x)=pmraiz2C1 x + 2C2,
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

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