Seja B o conjunto (x-alpha)^2+(y-beta)^2 <= r^2(r>0, alpha e beta reais dados). Verifique que
integral duplaB f(x, y) d x d y=integral0^2 pi[integral0^r rho g(theta, rho) d rho] d theta
em que g(theta, rho)=f(x, y), x=alpha+rho cos theta e y=beta+rho sen theta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao integrar uma função f sobre o disco B de centro (α,β) e raio r, podemos passar para coordenadas polares centradas em (α,β) e obter a fórmula dada. O conteúdo aqui é o teorema de mudança de variáveis em integrais duplas, usando coordenadas polares.

Passo 2

Vamos definir a transformação que leva as coordenadas polares (ρ,θ) em torno de (α,β) para (x,y). Escolhemos ρ≥0 e θ em [0,2π], e definimos
x=α+ρcosθ, y=β+ρsinθ

Passo 3

Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. Montamos a matriz Jacobiana:
J= partial x/partial ρ & partial x/partial θ partial y/partial ρ & partial y/partial θ = cosθ & -ρsinθ sinθ & ρcosθ
O determinante é
det J=ρ(cos^2θ+sin^2θ)=ρ

Passo 4

Em (ρ,θ) o disco B corresponde ao retângulo
0<= ρ<= r, 0<= θ<= 2π

Passo 5

Pelo teorema de mudança de variáveis, temos
integral duplaBf(x,y),dx,dy=integral0^2πintegral0^rfl(α+ρcosθ,,β+ρsinθr),|det J|,dρ,dθ =integral0^2πintegral0^rρ,g(θ,ρ),dρ,dθ

Resposta

\iint_{B}f(x,y),dx,dy=\int_{0}{2\pi}\biggl[\int_{0}{r}ρ,g(θ,ρ),dρ\biggr]dθ

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