Seja
o conjunto
e
reais dados). Verifique que
em que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao integrar uma função f sobre o disco B de centro (α,β) e raio r, podemos passar para coordenadas polares centradas em (α,β) e obter a fórmula dada. O conteúdo aqui é o teorema de mudança de variáveis em integrais duplas, usando coordenadas polares.
Passo 2
Vamos definir a transformação que leva as coordenadas polares (ρ,θ) em torno de (α,β) para (x,y). Escolhemos ρ≥0 e θ em [0,2π], e definimos
Passo 3
Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. Montamos a matriz Jacobiana:
O determinante é
Passo 4
Em (ρ,θ) o disco B corresponde ao retângulo
Passo 5
Pelo teorema de mudança de variáveis, temos
Resposta
\iint_{B}f(x,y),dx,dy=\int_{0}{2\pi}\biggl[\int_{0}{r}ρ,g(θ,ρ),dρ\biggr]dθ