Resolva as seguintes desigualdades:
(g) |1-2 x|<|x-4|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto
|1 - 2x| < |x - 4|
O conteúdo aqui é “inequações com valor absoluto”. Vamos usar a propriedade geral
|A| < |B|Long<=ftrightarrow A^2 < B^2

Passo 2

Aplicando essa propriedade à nossa desigualdade com A = 1-2x e B = x-4, obtemos
(1 - 2x)^2 < (x - 4)^2

Passo 3

Agora expandimos os quadrados e simplificamos:
(1 - 2x)^2 = 4x^2 - 4x + 1,
(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
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4x^2 - 4x + 1 < x^2 - 8x + 16
Longrightarrow 4x^2 - 4x + 1 - x^2 + 8x - 16 < 0
Longrightarrow 3x^2 + 4x - 15 < 0

Passo 4

Para resolver
3x^2 + 4x - 15 < 0
calculamos as raízes da equação 3x^2 + 4x - 15 = 0:
x = -4 pm raiz4^2 - 4cdot3cdot(-15)2cdot3 = -4 pm raiz16 + 1806 = -4 pm 146
As raízes são x1 = -3 e x2 = 5/3. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola fica abaixo do eixo x entre as raízes. Portanto
3x^2 + 4x - 15 < 0 Long<=ftrightarrow -3 < x < tfrac53

Resposta

boxedx in (-3,;5/3)

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