Resolva as seguintes desigualdades:
(h) |x+2x| <= 9.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|x+2x|<= 9
O conteúdo é inequação envolvendo valor absoluto e expressão racional. Vamos usar a equivalência
|u|<= aLong<=ftrightarrow -a<= u<= a
aplicada a u=x+2x, lembrando que xneq0 e que ao multiplicar por x devemos cuidar do sinal.

Passo 2

Transformamos
|x+2x|<= 9 Long<=ftrightarrow -9 <= x+2x <= 9,
com domínio xneq0.

Passo 3

Resolver x+2x<= 9:
Caso x>0: multiplica-se por x sem inverter o sinal
x+2<= 9x Longrightarrow 2<= 8x Longrightarrow x>= tfrac14
Caso x<0: multiplicando por x (negativo) inverte-se o sinal
x+2>= 9x Longrightarrow 2>= 8x Longrightarrow x<= tfrac14,
o que é sempre verdadeiro para todo x<0 (pois x<0<tfrac14).
Logo esta parte vale
x<0ou x>= tfrac14

Passo 4

Resolver x+2x>= -9:
Caso x>0:
x+2>= -9x Longrightarrow 2>= -10x Longrightarrow x>= -tfrac15,
que para x>0 é sempre satisfeito.
Caso x<0:
x+2<= -9x Longrightarrow 2<= -10x Longrightarrow x<= -tfrac15
Portanto esta parte vale
x>0ou x<= -tfrac15

Passo 5

Fazendo a interseção das duas partes:
Para x<0 precisamos também de x<= -tfrac15, ou seja
x<= -tfrac15
Para x>0 precisamos de x>= tfrac14, ou seja
x>= tfrac14

Resposta

(-infty,,-tfrac15];cup;[tfrac14,infty)

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