Resolva as seguintes EDO:
d yd t=y+cos t

Passo 1

Temos a EDO dydt = y + cos t, que é uma equação linear de primeira ordem. Vamos usar o método de fator integrante.

Passo 2

Colocamos na forma padrão dydt - y = cos t. Aqui o coeficiente de y é -1.

Passo 3

O fator integrante é mu(t) = e^integral -1,dt = e^-t.

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(t) e obtemos
e^-tdydt - e^-ty = e^-tcos t
O lado esquerdo é a derivada do produto.
Reconhecemos que
ddtl(e^-tyr) = e^-tdydt - e^-ty
e assim
ddtl(e^-tyr) = e^-tcos t .

Passo 5

Integramos ambos os lados:
e^-ty = integral e^-tcos t,dt + C
Para calcular integral e^-tcos t,dt usamos integração por partes e obtemos
integral e^-tcos t,dt = 12 e^-t(sin t - cos t) + K .

Passo 6

Substituindo e ajustando a constante em C:
e^-ty = 12 e^-t(sin t - cos t) + C
Multiplicando por e^t:
y(t) = 12(sin t - cos t) + C e^t .

Resposta

y(t) = C e^{t} + \frac{1}{2}\bigl(\sin t - \cos t\bigr)

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