Resolva as seguintes EDO:
x d yd x+5 x y=x sen x, para x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO x,dydx+5x,y = xsin x para x>0. Aqui o assunto é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por x>0, o que dá:
y' + 5y = sin x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por e^integral 5,dx, ou seja:
mu(x) = e^5x

Passo 4

Multiplicando a equação padronizada por mu(x) obtemos
(e^5xy)" = e^5xsin x
pois o lado esquerdo é a derivada de e^5xy.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados. Usando a fórmula
integral e^axsin(bx),dx = e^axa^2+b^2l(asin(bx)-bcos(bx)r)+C
com a=5 e b=1, temos:
integral e^5xsin x,dx = e^5x26l(5sin x - cos xr) + C

Passo 6

Por fim, dividindo por e^5x e isolando y, chega-se à solução geral:
y(x) = 5sin x - cos x26 + C,e^-5x

Resposta

y(x) = \frac{5\sin x - \cos x}{26} + C e^{-5x}

Exercícios relacionados