Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
t y^prime(t)=y(t)+1

Passo 1

A questão nos dá a EDO separável t,y'(t)=y(t)+1. O conteúdo é EDO de primeira ordem, separável (ou linear). Vamos precisar reescrever como y' em função de y e t, separar variáveis e integrar.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por t (supondo tneq0) para escrever a derivada explicitamente:
y'(t)=y(t)+1t

Passo 3

Agora vemos que dá para separar variáveis. Escrevemos
dyy+1=dtt

Passo 4

Integramos ambos os lados: à esquerda é integraldyy+1=ln|y+1|+C1; à direita é integraldtt=ln|t|+C2.
Igualando as constantes ( C=C2-C1), obtemos
ln|y+1|=ln|t|+C

Passo 5

Aplicamos exponencial em ambos os lados:
|y+1|=e^C,|t|=K|t|,
onde K=e^C é constante real não nula. Retirando valor absoluto (absorvendo sinal em K), ficamos com
y+1=K timplies y(t)=K t-1

Passo 6

Para equações de equilíbrio, buscamos y'(t)=0. Da forma original t,y'(t)=y+1, isso exige y+1=0, ou seja
y(t)=-1
é solução constante (equilíbrio).

Resposta

Solução geral: y(t)=C,t-1, com C constante arbitrária. Solução de equilíbrio: y(t)=-1.

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