Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
y^prime(t)+y^2(t) sin t=0

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO separável y'(t) + y^2(t)sin t =0, ou seja, encontrar y(t) e também as soluções de equilíbrio. O conteúdo é EDO separável e vamos precisar usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando dydt: dydt = -y^2 sin t. Depois separamos variáveis em y e t: dyy^2 = -sin t,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados: à esquerda usamos integral y^-2 dy e à direita -integral sin t,dt. O resultado da integração é -1y = cos t + C, onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t)=1C - cos t

Passo 5

Para encontrar soluções de equilíbrio constantes, igualamos y'(t)=0, o que força y^2sin t=0 para todo t. Como sin t não é zero em todo instante, concluímos que a única solução constante é y(t)=0.

Resposta

A solução geral é y(t)=dfrac1C - cos t, e a única solução de equilíbrio constante é y(t)=0.

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