Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
4 y^prime(t)+4 y^2(t)=(t y(t))^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
4y'(t)+4y^2(t)=(t,y(t))^2
que é uma equação de variáveis separáveis, e também identificar as soluções de equilíbrio caso existam.

Passo 2

Para encontrar as soluções de equilíbrio, assumimos uma solução constante y(t)=ye. Então y'(t)=0 e a equação vira
4cdot0+4ye^2 = t^2 ye^2
Como isso deve valer para todo t, só há solução possível quando ye=0.

Passo 3

Reescrevemos a equação em forma explícita de y':
[4\frac{dy}{dt} +4y^2 = t2y2
\quad\Longrightarrow\quad
4\frac{dy}{dt} = y2(t2-4)
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dy}{dt} = \frac{t2-4}{4},y2.

Passo 4

Agora separamos as variáveis y e t:
[\frac{dy}{y^2} = \frac{t^2-4}{4},dt.

Passo 5

Integrando ambos os lados, usamos
$$\int y^{-2},dy = \int \frac{t^2-4}{4},dt.
$$
O lado esquerdo dá integral y^-2,dy = integral t^2-44,dt e o direito dá -1/y, resultando em
[-\frac{1}{y} = \frac{t^3}{12} - t + C.

Passo 6

Por fim, isolamos y(t):
$$y(t) = -\frac{1}{\tfrac{t^3}{12} - t + C},
$$
onde y(t) = -1tfract^312 - t + C, é a constante de integração.

Passo 7

Além da família geral acima, a única solução de equilíbrio é y(t)=0.

Resposta

As soluções são
y(t)= -1tfract^312-t+C, CinR,
e a solução de equilíbrio y(t)=0.

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