Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução
sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
que é uma equação de variáveis separáveis, e também identificar as soluções de equilíbrio caso existam.
Passo 2
Para encontrar as soluções de equilíbrio, assumimos uma solução constante
. Então
e a equação vira
Como isso deve valer para todo
Passo 3
Reescrevemos a equação em forma explícita de
:
[4\frac{dy}{dt} +4y^2 = t2y2
\quad\Longrightarrow\quad
4\frac{dy}{dt} = y2(t2-4)
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dy}{dt} = \frac{t2-4}{4},y2.
\quad\Longrightarrow\quad
4\frac{dy}{dt} = y2(t2-4)
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dy}{dt} = \frac{t2-4}{4},y2.
Passo 4
Agora separamos as variáveis
e
:
[\frac{dy}{y^2} = \frac{t^2-4}{4},dt.
Passo 5
Integrando ambos os lados, usamos
$$\int y^{-2},dy = \int \frac{t^2-4}{4},dt.
$$
O lado esquerdo dá e o direito dá
, resultando em
[-\frac{1}{y} = \frac{t^3}{12} - t + C.
O lado esquerdo dá
[-\frac{1}{y} = \frac{t^3}{12} - t + C.
Passo 6
Por fim, isolamos
:
$$y(t) = -\frac{1}{\tfrac{t^3}{12} - t + C},
$$
onde é a constante de integração.
onde
Passo 7
Além da família geral acima, a única solução de equilíbrio é
.
Resposta
As soluções são
e a solução de equilíbrio