Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
(y^3+y) d x=(1-y^2) x d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável (y^3+y),dx=(1-y^2),x,dy, encontrando também eventuais soluções de equilíbrio. Vamos usar separação de variáveis, frações parciais e integração.

Passo 2

Primeiro achamos as soluções de equilíbrio (soluções constantes y(x)=y0). Num equilíbrio temos dy/dx=0. Reescrevendo
dydx=y^3+y(1-y^2),x, vemos que dy/dx=0 iff o numerador y^3+y=y(y^2+1)=0. Como y^2+1>0 para todo yin R, a única solução de equilíbrio é y=0.

Passo 3

Agora separamos as variáveis para a solução geral (não-constante):
(y^3+y),dx=(1-y^2),x,dy Longrightarrow dxx=1-y^2y(y^2+1),dy

Passo 4

Para integrar a parte em y fazemos frações parciais:
1-y^2y(y^2+1)=Ay+By+Cy^2+1 Ajustando coeficientes obtém-se A=1, B=-2, C=0, de modo que
1-y^2y(y^2+1)=1y-2yy^2+1

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integraldxx=integrall(1y-2yy^2+1r)dyLongrightarrow ln|x|=ln|y|-ln(y^2+1)+C Reagrupando ficamos com a forma implícita:
lnl|x(y^2+1)yr|=C Longrightarrow x(y^2+1)y=K, onde K=e^C é constante arbitrária.

Passo 6

Para isolar y em termos de x, reorganizamos:
x y^2 -K y + x=0, que é uma equação quadrática em y. Pela fórmula de Bhaskara vem
y(x)=KpmraizK^2-4x^22x, desde que K^2>=4x^2

Resposta

As soluções são:
  1. Equilíbrio: y(x)=0.
  2. Família geral (não-constante), implícita: x(y^2+1)/y=K.
  3. Isolando y(x):
y(x)=KpmraizK^2-4x^22x,com K constante e K^2>=4x^2.

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