Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO separável, encontrando também eventuais soluções de equilíbrio. Vamos usar separação de variáveis, frações parciais e integração.
Passo 2
Primeiro achamos as soluções de equilíbrio (soluções constantes ). Num equilíbrio temos . Reescrevendo
vemos que iff o numerador . Como para todo , a única solução de equilíbrio é .
Passo 3
Agora separamos as variáveis para a solução geral (não-constante):
Passo 4
Para integrar a parte em fazemos frações parciais:
Ajustando coeficientes obtém-se , , , de modo que
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Reagrupando ficamos com a forma implícita:
onde K=e^C é constante arbitrária.
Passo 6
Para isolar y em termos de x, reorganizamos:
x y^2 -K y + x=0, que é uma equação quadrática em y. Pela fórmula de Bhaskara vem
y(x)=KpmraizK^2-4x^22x, desde que K^2>=4x^2
Resposta
As soluções são:
Equilíbrio: y(x)=0.
Família geral (não-constante), implícita: x(y^2+1)/y=K.
Isolando y(x):
y(x)=KpmraizK^2-4x^22x,com K constante e K^2>=4x^2.