Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
t^2 y^prime(t)-y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável
t^2y'(t)-y(t)=0
isto é, encontrar todas as soluções y(t) e também as soluções de equilíbrio, se existirem.

Passo 2

Primeiro eu coloco a EDO em forma padrão separável. Reescrevo:
t^2y'(t)=y(t)
Dividindo ambos os lados por t^2 (supondo tneq0) e dividindo também por y(t) (presumindo yneq0 momentaneamente), obtenho
y'(t)y(t)=1t^2

Passo 3

Agora aplico a técnica de separação de variáveis, integrando em ambos os lados em relação a t:
integral y'(t)y(t),dt = integral 1t^2,dt

Passo 4

No lado esquerdo reconheço integral y'/y,dt=ln|y|. No direito,
integral t^-2,dt = -t^-1 + C,
onde C é a constante de integração. Logo
ln|y| = -1t + C

Passo 5

Exponenciando,
|y| = e^Ce^-1/t
Chamo K = pm e^C, obtendo a solução geral não nula
y(t) = K,e^-1/t, KinR

Passo 6

Não esqueço da solução de equilíbrio: se y(t)equiv0, então a EDO também é satisfeita. Portanto y=0 é a única solução constante.
Como observação final, a família y(t)=K e^-1/t vale para tneq0 e engloba todas as soluções não-constantes.

Passo 7

Por fim, reunindo tudo, as soluções são
y(t)=K e^-1/t, KinR, tneq0,
e a solução de equilíbrio y(t)=0.

Resposta

As soluções são
y(t)=K e^-1/t, KinR,;tneq0,
além da solução de equilíbrio y(t)=0.

Exercícios relacionados