Calcule:
raiz[4]29-96 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular as raízes quárticas (4ª raízes) do número complexo 29 - 96,i. O conteúdo que vamos usar é a representação polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre para extrair raízes n-ésimas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos z = 29 - 96,i em forma polar. Calculamos seu módulo r e seu argumento theta:
r = |z| = raiz29^2 + (-96)^2 = raiz10057,
Como 29>0 e -96<0, z está no quarto quadrante e podemos tomar
theta = arg(z) = -arctanl(tfrac9629r)

Passo 3

pela fórmula de De Moivre, as raízes quárticas de z são dadas por
wk = r^1/4expl[itheta + 2pi k4r] para k=0,1,2,3
Em forma trigonométrica, podemos escrever
wk = raiz[4]raiz10057(costheta + 2pi k4 + i,sintheta + 2pi k4)

Passo 4

Substituindo r=raiz10057 e theta=-arctan(96/29), obtemos as quatro raízes quárticas:

Resposta

Para k=0,1,2,3, as 4 raízes são
[
w_k = 10057^{1/8}\left[\cos\Bigl(\tfrac{-\arctan(96/29) + 2\pi k}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(\tfrac{-\arctan(96/29) + 2\pi k}{4}\Bigr)\right].

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