Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as raízes quárticas (4ª raízes) do número complexo
. O conteúdo que vamos usar é a representação polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre para extrair raízes n-ésimas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
em forma polar. Calculamos seu módulo
e seu argumento
:
Como
e
,
está no quarto quadrante e podemos tomar
Passo 3
pela fórmula de De Moivre, as raízes quárticas de
são dadas por
Em forma trigonométrica, podemos escrever
Passo 4
Substituindo
e
, obtemos as quatro raízes quárticas:
Resposta
Para k=0,1,2,3, as 4 raízes são
[
w_k = 10057^{1/8}\left[\cos\Bigl(\tfrac{-\arctan(96/29) + 2\pi k}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(\tfrac{-\arctan(96/29) + 2\pi k}{4}\Bigr)\right].
w_k = 10057^{1/8}\left[\cos\Bigl(\tfrac{-\arctan(96/29) + 2\pi k}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(\tfrac{-\arctan(96/29) + 2\pi k}{4}\Bigr)\right].