Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
x y^prime(x)-3 y^-2(x)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO separável
x,y'(x)-3,y^-2(x)=0
O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro reescrevo a derivada explicitamente como y' = dydx e isolo os termos:
xdydx-3y^-2=0
Logo,
xdydx=3y^-2

Passo 3

Agora separo as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e com x do outro. Multiplico ambos os lados por y^2 e divido por x:
y^2,dy = 3dxx

Passo 4

Integro ambos os lados:
integral y^2,dy = integral 3dxx
Isso dá
y^33 = 3ln|x| + C

Passo 5

Multiplico por 3 para simplificar e chamo C1=3C:
y^3 = 9ln|x| + C1
Daí a solução implícita é essa. Por fim, tomo a raiz cúbica:
y(x) = raiz[3]9ln|x| + C1

Passo 6

Para encontrar soluções de equilíbrio, procuro constantes y(x)=y0 que satisfaçam y'=0. Da expressão isolada 3y^-2=0 só seria zero se y0, o que não ocorre para nenhum real. Portanto, não há soluções de equilíbrio constantes.

Resposta

A solução geral é
y(x) = raiz[3]9ln|x| + C,
e não existem soluções de equilíbrio constantes.

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