Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
x^2(y^prime(x))^2+y^2(x)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem separável
x^2l(y'(x)r)^2+y^2(x)=1
quando possível achando a solução geral y(x) e também as soluções de equilíbrio.

Passo 2

Isolamos (y')^2. Da equação original temos:
x^2l(y'(x)r)^2=1-y^2(x)
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l(y'(x)r)^2=1-y^2(x)x^2

Passo 3

Tomamos raiz dos dois lados para obter y'. Admitindo inicialmente x>0 (para evitar valor absoluto em x):
y'=dydx=pmraiz1-y^2x
Agora separamos variáveis:
dyraiz1-y^2=pmdxx

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos a primitiva de 1/raiz1-y^2, que é arcsin(y). No direito vem ln|x|:
integraldyraiz1-y^2=arcsin(y),
integraldxx=ln|x|+C
Portanto
arcsinl(y(x)r)=pmln|x|+C

Passo 5

Isolando y(x) obtemos a solução geral:
y(x)=sinl(pmln|x|+Cr)
Como a constante C é arbitrária, podemos englobar o sinal pm na própria constante, de modo que a forma mais simples é
y(x)=sinl(ln|x|+Cr), CinR

Passo 6

Para achar as soluções de equilíbrio, impomos y'(x)=0 na equação original. Então
x^2cdot0^2+y^2=1implies y^2=1implies y=pm1
Esses são os estados constantes que satisfazem a EDO.

Resposta

Solução geral: y(x)=sin(ln|x|+C), com CinR. Soluções de equilíbrio: y(x)equiv1 e y(x)equiv-1.

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