Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime(t)=sec (y(t))+tan (y(t)), com y(1)=pi / 2

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial y'(t)=sec(y(t))+tan(y(t)) com y(1)=pi/2. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias separáveis, então vamos identificar como separar variáveis e integrar funções trigonométricas.

Passo 2

Percebo que a equação é separável. Posso escrever
dydt=sec y+tan yLongrightarrowdysec y+tan y=dt

Passo 3

Agora preciso integrar ambos os lados. No lado esquerdo uso a identidade
1sec y+tan y=sec y-tan y,,pois (sec y-tan y)(sec y+tan y)=1. Então
integraldysec y+tan y=integral(sec y-tan y),dy

Passo 4

Lembro que
integralsec y,dy=ln|sec y+tan y|+C1,integraltan y,dy=-ln|cos y|+C2Assim
integral(sec y-tan y),dy=ln|sec y+tan y|+ln|cos y|+C=lnl|(sec y+tan y)cos yr|+C=ln|1+sin y|+C

Passo 5

No lado direito temos
$$\int dt = t + C

Passo 6

ln|1+sin y|=t+C0, C0=C Exponenciando: 1+\sin y = e{t+C_0}=Aet,\quad A=e^{C_0}.$$

Passo 7

Usando a condição inicial y(1)=pi/2, temos sin(pi/2)=1, então
1+1=2=A e^1Longrightarrow A=2/eLogo
sin y = Ae^t -1 = 2ee^t -1 = 2e^t-1-1

Passo 8

Para finalizar, isolo y:
y(t)=arcsinl(2e^t-1-1r)

Resposta

y(t)=\arcsin\bigl(2e^{t-1}-1\bigr)

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