Resolva os seguintes problemas de valor inicial: com
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial com . O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias separáveis, então vamos identificar como separar variáveis e integrar funções trigonométricas.
Passo 2
Percebo que a equação é separável. Posso escrever
Passo 3
Agora preciso integrar ambos os lados. No lado esquerdo uso a identidade
pois . Então
Passo 4
Lembro que
Assim
Passo 5
No lado direito temos
$$\int dt = t + C
Passo 6
ln|1+sin y|=t+C0, C0=C Exponenciando: 1+\sin y = e{t+C_0}=Aet,\quad A=e^{C_0}.$$
Passo 7
Usando a condição inicial y(1)=pi/2, temos sin(pi/2)=1, então