Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
(1+e^x^2) d y=2 x y e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável (1+e^x^2),dy=2x y e^x^2,dx isolando y(t) e também identificar as soluções de equilíbrio (constantes). Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Reorganizando a EDO para separar y e x, dividimos ambos os lados por y(1+e^x^2):
1y,dy = 2x e^x^21+e^x^2,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado. No lado esquerdo fica
integral 1y,dy = ln|y| + C1

Passo 4

No lado direito usamos a substituição u = 1 + e^x^2, de onde du = 2x e^x^2,dx:
integral 2x e^x^21+e^x^2,dx = integral 1u,du = ln|u| + C2 = ln(1+e^x^2) + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e juntando as constantes ( C = C2 - C1) obtemos
ln|y| = ln(1+e^x^2) + C

Passo 6

Exponenciando, temos
|y| = e^C,(1+e^x^2) = Kl(1+e^x^2r), KinRsetminus0

Passo 7

Logo a solução geral é y(x)=Kl(1+e^x^2r). A única solução de equilíbrio (constante) decorre de y=0, pois aí dy/dx=0 identicamente.

Resposta

Solução geral: y(x)=Cl(1+e^x^2r), com CinR. Solução de equilíbrio: y=0.

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