Usando o método de integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas.
(b) integral x sen(k x) d x, k=1,2,3, ldots

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x,sin(kx),dx usando o método de integração por partes. O conteúdo é integração por partes, e vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u v - integral v,du
além de saber que integral sin(kx),dx = -tfrac1kcos(kx) + C.

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar integração por partes. Definimos
u = x, dv = sin(kx),dx
Então
du = dx, v = integral sin(kx),dx = -1kcos(kx)

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x,sin(kx),dx = u v - integral v,du = -xkcos(kx) - integral l(-1kcos(kx)r),dx

Passo 4

Resolvendo a integral remanescente:
-integral l(-1kcos(kx)r),dx = +1kintegral cos(kx),dx = 1kcdot 1ksin(kx) = sin(kx)k^2

Passo 5

Reunindo tudo, obtemos:
integral x,sin(kx),dx = -xkcos(kx) + sin(kx)k^2 + C

Resposta

integral x,sin(kx),dx = -xkcos(kx) + sin(kx)k^2 + C.

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