Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
sin (t) d t+v(t) d v=0 com v(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial sin(t),dt + v(t),dv = 0 com a condição v(0)=2. Isso é uma EDO separável, então vamos usar separação de variáveis, integrais indefinidas e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação separando as variáveis de v e t:
v,dv = -sin(t),dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados para obter a relação geral entre v e t:
integral v,dv = v^22
integral -sin(t),dt = cos(t) + C
Portanto, a relação implícita é
v^22 = cos(t) + C

Passo 4

Usando a condição inicial v(0)=2, substituímos t=0 e v=2:
2^22 = cos(0) + C Longrightarrow 2 = 1 + C Longrightarrow C = 1

Passo 5

Substituindo C=1 e isolando v temos:
v^2 = 2cos(t) + 2
v = pmraiz2l(1+cos(t)r)

Passo 6

Como v(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo e chegamos à solução explícita.

Resposta

v(t) = raiz2l(1+cos(t)r)

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