Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
4 y^prime(t) y^3(t)-t^3=t, com y(0)=-raiz2 / 2

Passo 1

O exercício pede para resolver o problema de valor inicial dado por 4 y′(t) y³(t) – t³ = t com y(0)=−√2/2. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem e do tipo separável, então vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar y′ temos 4 y³ y′=t³+t. Em seguida separamos variáveis:
4,y^3,dy = (t^3 + t),dt
Agora integramos ambos os lados. No lado de y: ∫4 y³ dy e no lado de t: ∫(t³+t) dt, o que dá:
integral 4y^3,dy = integral(t^3 + t),dt
Após integrar obtemos
y^4 = t^44 + t^22 + C

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=−√2/2. Como (−√2/2)^4=1/4, em t=0 a expressão vira 1/4=C. Logo C=1/4.

Passo 4

Substituindo C na solução geral ficamos com y4=(t2+1)^2/4. Assim y2=(t2+1)/2 e extraindo raiz: y(t)=±√((t^2+1)/2). Para satisfazer y(0)<0 escolhemos o sinal negativo.

Passo 5

Portanto a solução do PVI é y(t)=−√((t^2+1)/2).

Resposta

y(t) = -\sqrt{\frac{t^2 + 1}{2}}

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