Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
com
Passo 1
O exercício pede para resolver o problema de valor inicial dado por 4 y′(t) y³(t) – t³ = t com y(0)=−√2/2. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem e do tipo separável, então vamos separar variáveis e integrar.
Passo 2
Reescrevendo a equação para isolar y′ temos 4 y³ y′=t³+t. Em seguida separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados. No lado de y: ∫4 y³ dy e no lado de t: ∫(t³+t) dt, o que dá:
Após integrar obtemos
Passo 3
Usamos a condição inicial y(0)=−√2/2. Como (−√2/2)^4=1/4, em t=0 a expressão vira 1/4=C. Logo C=1/4.
Passo 4
Substituindo C na solução geral ficamos com y4=(t2+1)^2/4. Assim y2=(t2+1)/2 e extraindo raiz: y(t)=±√((t^2+1)/2). Para satisfazer y(0)<0 escolhemos o sinal negativo.
Passo 5
Portanto a solução do PVI é y(t)=−√((t^2+1)/2).
Resposta
y(t) = -\sqrt{\frac{t^2 + 1}{2}}