Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução
sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO separável
, que é uma equação de primeira ordem. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis e integração, além de verificar se existem soluções de equilíbrio (constantes) para
.
Passo 2
Procuramos soluções de equilíbrio assumindo
(constante). Então
e a EDO fica
Isso não vale para todo
, salvo em
, mas não identicamente. Logo, não há soluções de equilíbrio constantes.
Passo 3
Reconhecemos que
. A EDO original
pode ser reescrita como
Passo 4
Isolamos as variáveis, agrupando
de um lado e
do outro. Assim temos
Esse é o passo-chave do método de separação de variáveis.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
pela teoria,
e
. Logo,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para isolar
, multiplicamos tudo por 2 e chamamos
. Isso dá
Extraindo a raiz quadrada, obtemos a família de soluções gerais
com
.
Resposta
y(t)=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}t^3 + C}, sem soluções de equilíbrio constantes.