Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
y(t) y^prime(t)-t^2=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO separável y(t),y'(t) - t^2 = 0, que é uma equação de primeira ordem. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis e integração, além de verificar se existem soluções de equilíbrio (constantes) para y(t).

Passo 2

Procuramos soluções de equilíbrio assumindo y(t)=c (constante). Então y'(t)=0 e a EDO fica
ccdot 0 - t^2 = -t^2 = 0
Isso não vale para todo t, salvo em t=0, mas não identicamente. Logo, não há soluções de equilíbrio constantes.

Passo 3

Reconhecemos que y'(t)=dydt. A EDO original
y(t),y'(t) - t^2 = 0
pode ser reescrita como
ydydt = t^2

Passo 4

Isolamos as variáveis, agrupando y de um lado e t do outro. Assim temos
y,dy = t^2,dt
Esse é o passo-chave do método de separação de variáveis.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral t^2,dt
pela teoria, integral y,dy = tfracy^22 e integral t^2,dt = tfract^33. Logo,
y^22 = t^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para isolar y(t), multiplicamos tudo por 2 e chamamos K=2C. Isso dá
y^2 = 23t^3 + K
Extraindo a raiz quadrada, obtemos a família de soluções gerais
y(t) = pmraiz23,t^3 + K,,
com KinR.

Resposta

y(t)=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}t^3 + C}, sem soluções de equilíbrio constantes.

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