Resolva as seguintes EDO separáveis isolando a solução y(t) sempre que seja possível (não esqueça encontrar também as soluções de equilíbrio caso elas existam):
y^prime(t)(y(t)+e^y(t))=t-e^-t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável y'(t)l(y(t)+e^y(t)r)=t-e^-t, encontrando também eventuais soluções de equilíbrio. O conteúdo é Equações Diferenciais Ordinárias separáveis e vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro expressamos y' como dydt e isolamos variáveis:
y',(y+e^y)=t-e^-t
dydt = t-e^-ty+e^y
(y+e^y),dy = (t-e^-t),dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo:
integral (y+e^y),dy = integral y,dy + integral e^y,dy = y^22 + e^y + C1
Do lado direito:
integral (t - e^-t),dt = integral t,dt - integral e^-t,dt = t^22 + e^-t + C2

Passo 4

Unindo integrais e absorvendo constantes em uma só C = C2 - C1, obtemos a solução implícita:
y^22 + e^y = t^22 + e^-t + C

Passo 5

Para soluções de equilíbrio buscamos y'(t)=0 para todo t, o que exigiria t-e^-t=0 para todo t. Como isso não ocorre, não há soluções constantes.
Portanto, a solução geral da EDO fica dada implicitamente por:
y^22 + e^y = t^22 + e^-t + C

Resposta

y^22 + e^y = t^22 + e^-t + C, CinR

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