Resolva as seguintes EDOLH’s de coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação. As informações relevantes são apenas a própria equação (terceira ordem, homogênea, coeficientes constantes). Não há condições iniciais fornecidas, então vamos obter a solução geral com três constantes arbitrárias.
Passo 2
Método padrão: tentar uma solução do tipo exponencial. Explico por quê: se escolhermos uma função
(onde
é um número a determinar), as derivadas ficam proporcionais a
e a equação diferencial transforma-se numa equação algébrica para
. Calcule as derivadas:
Substituindo na equação diferencial e dividindo por
(que nunca é zero) obtém-se a equação característica:
Aqui
é a incógnita da equação algébrica; encontrando os valores de
obtemos os expoentes das exponenciais que compõem a solução.
Passo 3
Resolva a equação característica. Factorizando:
Portanto as raízes são
As três raízes são reais e distintas.
Passo 4
Regra de formação da solução geral para raízes reais distintas: cada raiz
gera uma solução básica
, e a solução geral é a combinação linear dessas soluções com constantes arbitrárias. Assim
Como
podemos escrever de forma mais simples:
onde
são constantes reais que serão determinadas por condições iniciais, se houver.
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): demonstrar que essa família realmente satisfaz a equação. Calcule as derivadas da solução proposta:
Agora formar
:
Logo a solução apresentada satisfaz a equação diferencial. (O termo constante
desaparece nas derivadas, como esperado.)
Passo 6
Comentário didático rápido: quando a equação característica tem raízes reais distintas a solução geral é sempre soma de exponenciais
. Se houvesse raízes repetidas ou complexas, o formato da solução muda (multiplicação por potências de
para raízes múltiplas; combinação de funções exponenciais e seno/cosseno para raízes complexas). Aqui não há essas complicações, o que facilita bastante.