Resolva as seguintes EDOLH’s de coeficientes constantes:
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}-9 \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d^{3}y}{d x^{3}} - 9\frac{d y}{d x} = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação. As informações relevantes são apenas a própria equação (terceira ordem, homogênea, coeficientes constantes). Não há condições iniciais fornecidas, então vamos obter a solução geral com três constantes arbitrárias.

Passo 2

Método padrão: tentar uma solução do tipo exponencial. Explico por quê: se escolhermos uma função y(x)=e^{r x} (onde r é um número a determinar), as derivadas ficam proporcionais a e^{r x} e a equação diferencial transforma-se numa equação algébrica para r. Calcule as derivadas:
y = e^{r x},\qquad y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x},\qquad y''' = r^{3} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero) obtém-se a equação característica:
r^{3} - 9 r = 0.
Aqui r é a incógnita da equação algébrica; encontrando os valores de r obtemos os expoentes das exponenciais que compõem a solução.

Passo 3

Resolva a equação característica. Factorizando:
r^{3} - 9 r = r(r^{2} - 9) = r(r-3)(r+3)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=3,\qquad r_{3}=-3.
As três raízes são reais e distintas.

Passo 4

Regra de formação da solução geral para raízes reais distintas: cada raiz r_{i} gera uma solução básica e^{r_{i}x}, e a solução geral é a combinação linear dessas soluções com constantes arbitrárias. Assim
y(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-3x}.
Como e^{0\cdot x}=1 podemos escrever de forma mais simples:
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais que serão determinadas por condições iniciais, se houver.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): demonstrar que essa família realmente satisfaz a equação. Calcule as derivadas da solução proposta:
y' = 3C_{2}e^{3x}-3C_{3}e^{-3x},
y'' = 9C_{2}e^{3x}+9C_{3}e^{-3x},
y''' = 27C_{2}e^{3x}-27C_{3}e^{-3x}.
Agora formar y''' - 9y':
y''' - 9y' = (27C_{2}e^{3x}-27C_{3}e^{-3x}) - 9(3C_{2}e^{3x}-3C_{3}e^{-3x}) = 0.
Logo a solução apresentada satisfaz a equação diferencial. (O termo constante C_{1} desaparece nas derivadas, como esperado.)

Passo 6

Comentário didático rápido: quando a equação característica tem raízes reais distintas a solução geral é sempre soma de exponenciais e^{r_i x}. Se houvesse raízes repetidas ou complexas, o formato da solução muda (multiplicação por potências de x para raízes múltiplas; combinação de funções exponenciais e seno/cosseno para raízes complexas). Aqui não há essas complicações, o que facilita bastante.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-3x}

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