Use o método da variação dos parâmetros para para resolver y^prime prime prime-2 y^prime prime-y^prime+2 y=3 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Esse método ajuda a encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares não homogêneas. Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada para depois aplicar a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0 . Para isso, encontramos a equação característica substituindo :

Passo 3

Vamos resolver 1 - 2 - 1 + 2 = 0 (funciona!) . Tentamos encontrar raízes racionais possíveis. Testando r^3 - 2r^2 - r + 2 = (r - 1)(r^2 - r - 2) :
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 Rightarrow r = 2 ou r = -1
Então, é uma raiz. Agora, dividimos o polinômio por para fatorar:
Resolvemos :

Passo 4

Agora que temos as raízes yh = C1e^x + C2e^2x + C3e^-x , e , a solução geral da equação homogênea é:
onde , e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Vamos agora encontrar uma solução particular yp = Ax e^x para a equação não homogênea usando a variação dos parâmetros. Como o lado direito é e já é solução da homogênea, precisamos multiplicar por para evitar duplicidade. Então, assumimos:

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp' = A e^x + A x e^x :
yp'' = 2A e^x + A x e^x
yp''' = 3A e^x + A x e^x
(3A e^x + A x e^x) - 2(2A e^x + A x e^x) - (A e^x + A x e^x) + 2(A x e^x) = 3e^x
Substituímos na equação original:
3A e^x + A x e^x - 4A e^x - 2A x e^x - A e^x - A x e^x + 2A x e^x = 3e^x
Simplificando:
(3A - 4A - A)e^x + (A - 2A - A + 2A)x e^x = 3e^x
-2A e^x + 0 cdot x e^x = 3e^x
-2A = 3 Rightarrow A = -32
Igualando os coeficientes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1e^x + C2e^2x + C3e^-x - 32x e^x

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