Use o método da variação dos parâmetros para para resolver
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Esse método ajuda a encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares não homogêneas. Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada para depois aplicar a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
:
Passo 3
Vamos resolver
. Tentamos encontrar raízes racionais possíveis. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, dividimos o polinômio por
para fatorar:
Resolvemos
:
Passo 4
Agora que temos as raízes
,
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Vamos agora encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
usando a variação dos parâmetros. Como o lado direito é
e
já é solução da homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicidade. Então, assumimos:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: