Resolva as seguintes EDOs
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me mandou. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das EDOs lineares:
A ideia aqui é colocar todos os termos com $ y $ de um lado para facilitar a aplicação do método.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. Esse fator ajuda a transformar a EDO em uma equação que pode ser facilmente integrada. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela $ \mu(x) $ que encontramos:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{k x} y $, e a do lado direito, assumindo que $ k \neq 10 $, é:
Então temos:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{k x} $:
Passo 7
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(0) = 40 $:
Substituindo $ x = 0 $ na equação:
Isolando $ C $:
Passo 8
Finalmente, substituímos $ C $ de volta na equação de $ y $:
Resposta
A solução da EDO é: