Resolva as seguintes EDOs
y^prime=50 e^-10 x-k y, y(0)=40

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me mandou. O enunciado é:
y' = 50 e^-10 x - k y, y(0) = 40
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das EDOs lineares:
y' + k y = 50 e^-10x
A ideia aqui é colocar todos os termos com $ y $ de um lado para facilitar a aplicação do método.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. Esse fator ajuda a transformar a EDO em uma equação que pode ser facilmente integrada. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela $ \mu(x) $ que encontramos:
mu(x)
Isso simplifica a equação para:
e^k x y' + k e^k x y = 50 e^k x e^-10x

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{k x} y $, e a do lado direito, assumindo que $ k \neq 10 $, é:
integral ddx ( e^k x y ) dx = integral 50 e^(k -10)x dx
Então temos:
e^k x y

Passo 6

Agora, vamos isolar $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{k x} $:
y

Passo 7

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(0) = 40 $:
Substituindo $ x = 0 $ na equação:
C
Isolando $ C $:
y(0) = 40

Passo 8

Finalmente, substituímos $ C $ de volta na equação de $ y $:
C

Resposta

A solução da EDO é:
y(x) = 50k -10 e^-10x + (40 - 50k -10) e^-k x

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