1^{\text {a }} (2,0 p.) Encontre a solução para o seguinte Problema de Valor Inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+\tan (t) y=\cos ^{2}(t) ; \\\ y(0)=-2 \end{array}\right.
Dica: Sabendo que \int \tan (t) d t=-\ln (\cos (t)).

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial e pede a solução y(t):
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+\tan (t)\,y=\cos^{2}(t),\\[4pt] y(0)=-2. \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é do tipo com derivada primeira y^{\prime} e termo linear em y.
  • A função que multiplica y é \tan(t).
  • A condição inicial é y(0)=-2.
  • A dica fornece a primitiva de \tan(t), que será útil: \displaystyle\int \tan(t)\,dt=-\ln(\cos(t)).]

Passo 2

Vou explicar a ideia que vamos usar (calma, passo a passo): para uma equação linear de primeira ordem escrita no formato
y^{\prime}+p(t)\,y=q(t),
existe uma função chamada fator integrante \mu(t) definida por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
A propriedade essencial é que
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)\,y(t)\big)=\mu(t)\big(y^{\prime}+p(t)\,y\big).
Assim, ao multiplicar a equação original por \mu(t) a parte esquerda vira uma derivada total, que dá para integrar diretamente. Aqui p(t)=\tan(t) e q(t)=\cos^{2}(t). Vou calcular \mu(t) usando a fórmula acima.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Usando \displaystyle\int \tan(t)\,dt=-\ln(\cos(t)) (dica do enunciado) temos
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \tan(t)\,dt\Big)=\exp\!\big(-\ln(\cos(t))\big).
Usando propriedades de exponencial e logaritmo obtemos
\mu(t)=\frac{1}{\cos(t)}=\operatorname{sec}(t),
valendo para intervalos onde \cos(t)\neq 0. Como a condição inicial é em t=0 e \cos(0)=1, podemos trabalhar numa vizinhança de t=0 onde \mu(t)=\operatorname{sec}(t) é bem definida e positiva.

Passo 4

Multiplico a equação original pelo fator integrante \mu(t)=\operatorname{sec}(t). A equação original multiplicada fica
\operatorname{sec}(t)\,y^{\prime}+\operatorname{sec}(t)\tan(t)\,y=\operatorname{sec}(t)\cos^{2}(t).

Passo 5

Reconheço a derivada no lado esquerdo: como \dfrac{d}{dt}[\operatorname{sec}(t)]=\operatorname{sec}(t)\tan(t), o lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec}(t)\,y(t)\big).
Portanto a equação multiplicada se escreve como
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec}(t)\,y(t)\big)=\operatorname{sec}(t)\cos^{2}(t).

Passo 6

Simplifico o lado direito: \operatorname{sec}(t)\cos^{2}(t)=\dfrac{\cos^{2}(t)}{\cos(t)}=\cos(t). Logo a equação torna-se
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec}(t)\,y(t)\big)=\cos(t).

Passo 7

Integro ambos os lados em relação a t. A integral do lado esquerdo é direta (fica \operatorname{sec}(t)\,y(t)) e do direito é a primitiva de \cos(t), então
\operatorname{sec}(t)\,y(t)=\int \cos(t)\,dt=\sin(t)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 8

Isolo y(t) dividindo por \operatorname{sec}(t)=1/\cos(t), ou multiplicando por \cos(t):
y(t)=\cos(t)\big(\sin(t)+C\big).
Aqui cada termo está claro: \cos(t) e \sin(t) são as funções trigonométricas usuais e C é a constante a determinar pela condição inicial.

Passo 9

Uso a condição inicial y(0)=-2 para achar C. Avaliando em t=0:
y(0)=\cos(0)\big(\sin(0)+C\big)=1\cdot(0+C)=C.
Como y(0)=-2 segue que C=-2.

Passo 10

Substituo C=-2 na expressão geral para y(t). Obtenho
y(t)=\cos(t)\big(\sin(t)-2\big).
Posso também expandir se preferir:
y(t)=\cos(t)\sin(t)-2\cos(t).
Lembro que esta solução é válida em intervalos onde \cos(t)\neq 0; em particular é válida numa vizinhança de t=0 que contém o ponto inicial.

Resposta

y(t)=\cos(t)\big(\sin(t)-2\big)

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