(2,0 p.) Encontre a solução para o seguinte Problema de Valor Inicial
Dica: Sabendo que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial e pede a solução
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial é do tipo com derivada primeira
e termo linear em . - A função que multiplica
é . - A condição inicial é
. - A dica fornece a primitiva de
, que será útil: .]
Passo 2
Vou explicar a ideia que vamos usar (calma, passo a passo): para uma equação linear de primeira ordem escrita no formato
existe uma função chamada fator integrante
definida por
A propriedade essencial é que
Assim, ao multiplicar a equação original por
a parte esquerda vira uma derivada total, que dá para integrar diretamente. Aqui
e
. Vou calcular
usando a fórmula acima.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Usando
(dica do enunciado) temos
Usando propriedades de exponencial e logaritmo obtemos
valendo para intervalos onde
. Como a condição inicial é em
e
, podemos trabalhar numa vizinhança de
onde
é bem definida e positiva.
Passo 4
Multiplico a equação original pelo fator integrante
. A equação original multiplicada fica
Passo 5
Reconheço a derivada no lado esquerdo: como
, o lado esquerdo é exatamente
Portanto a equação multiplicada se escreve como
Passo 6
Simplifico o lado direito:
. Logo a equação torna-se
Passo 7
Integro ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo é direta (fica
) e do direito é a primitiva de
, então
onde
é constante de integração.
Passo 8
Isolo
dividindo por
, ou multiplicando por
:
Aqui cada termo está claro:
e
são as funções trigonométricas usuais e
é a constante a determinar pela condição inicial.
Passo 9
Uso a condição inicial
para achar
. Avaliando em
:
Como
segue que
.
Passo 10
Substituo
na expressão geral para
. Obtenho
Posso também expandir se preferir:
Lembro que esta solução é válida em intervalos onde
; em particular é válida numa vizinhança de
que contém o ponto inicial.