Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
4 y^prime prime+9 y=0

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é EDO linear homogênea de ordem 2 e a gente vai usar o método da equação característica para encontrar a solução geral

Passo 2

Supomos uma solução do tipo y=e^rx, então y''=r^2e^rx. Substituindo na equação 4y''+9y=0 obtemos
4r^2+9=0

Passo 3

Resolvendo para r:
r^2=-tfrac94
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r=pmtfrac32i

Passo 4

Como as raízes são complexas puras r=pm itfrac32, a solução geral é combinação de senos e cossenos:
y(x)=C1cosl(tfrac32xr)+C2sinl(tfrac32xr)

Resposta

y(x)=C1cosl(tfrac32xr)+C2sinl(tfrac32xr)

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