Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
2 y^prime prime+3 y^prime+y=t^2+3 sen(t)

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y’’+3y’+y = t^2 + 3 sen(t). O conteúdo é método dos coeficientes indeterminados: a solução geral é y = y_h + y_p, onde y_h vem da homogênea e y_p é uma particular que se ajusta ao termo não homogêneo.

Passo 2

Para achar y_h, escrevemos a equação característica associada à homogênea 2y’’+3y’+y=0:
2r^2+3r+1=0
Resolvendo
r=-3pmraiz9-84=-3pm14
Logo r_1=-\tfrac12 e r_2=-1, e
yh=C1e^-t/2+C2e^-t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é soma de t^2 (polinômio grau 2) e 3 sen(t), escolhemos um palpite do tipo
yp(t)=At^2+Bt+C+Dsin t+Ecos t

Passo 4

Para determinar A, B e C, foca na parte polinomial y_{p1}=At^2+Bt+C. Suas derivadas são y’{p1}=2At+B e y’’{p1}=2A. Substituindo em 2y’’+3y’+y e coletando termos em t^2, t e constantes, obtemos
At^2+(6A+B)t+(4A+3B+C)=t^2
Comparando coeficientes:
A=1,
6A+B=0⇒B=-6,
4A+3B+C=0⇒C=14.

Passo 5

Para D e E, usa y_{p2}=D\sin t+E\cos t. Então y’{p2}=D\cos t-E\sin t, y’’{p2}=-D\sin t-E\cos t. Substituindo em 2y’’+3y’+y e coletando sen e cos:
(-D-3E)sin t+(3D-E)cos t=3sin t
Igualando coeficientes:
-D-3E=3,
3D-E=0⇒E=3D.
Resolvendo: -D-9D=3⇒D=-3/10 e E=-9/10.

Passo 6

Portanto a solução geral da EDO é a soma de y_h e y_p:
y(t)=C1e^-t/2+C2e^-t+t^2-6t+14-310sin t-910cos t

Resposta

y(t)=C_{1}e{-t/2}+C_{2}e{-t}+t^{2}-6t+14-\tfrac{3}{10}\sin t-\tfrac{9}{10}\cos t

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