Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime+4 y=3 csc (2 t) ; 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 2.º ordem
Conteúdo: equações lineares com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos precisar (1) achar a solução geral da equação homogênea associada e (2) usar o método de variação de parâmetros para obter uma solução particular de y''+4y=3,csc(2t).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
A equação é
y''+4y=0
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=pm2i. Logo, uma base de soluções é
$$y_1(t)=\cos(2t),\quad y_2(t)=\sin(2t).
$$
Assim a solução homogênea é
y1(t)=cos(2t), y2(t)=sin(2t)

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros. Definimos
W(t)=cos(2t)&sin(2t) -2sin(2t)&2cos(2t)=2
As fórmulas para u1' e u2' são
u1'(t)=-g(t),y2(t)W(t), u2'(t)=g(t),y1(t)W(t),
onde g(t)=3csc(2t). Logo
u1'(t)=-3csc(2t)sin(2t)2=-32,
$$u_2’(t)=\frac{3\csc(2t)\cos(2t)}{2}=\frac{3}{2}\cot(2t).
$$
Integramos para achar u2'(t)=3csc(2t)cos(2t)2=32cot(2t) e u1:
u2
$$u_2(t)=\frac{3}{2}\int\cot(2t),dt=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl(\sin(2t)\bigr)=\frac{3}{4}\ln\bigl(\sin(2t)\bigr).
$$

Passo 4

Formamos a solução particular por
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t) =-tfrac32tcos(2t)+tfrac34lnl(sin(2t)r)sin(2t)
Assim a solução geral da EDO é
$$y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\tfrac{3}{2}t\cos(2t)+\tfrac{3}{4}\ln\bigl(\sin(2t)\bigr)\sin(2t).
$$

Resposta

y(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)-\tfrac{3}{2}t\cos(2t)+\tfrac{3}{4}\ln(\sin(2t))\sin(2t)

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