Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t1+t^2

Passo 1

A gente tem a EDO não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes:
Temos
y''-2y'+y=e^t1+t^2
O conteúdo aqui é EDOs lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular (aqui usaremos variação de parâmetros).

Passo 2

Vamos achar a solução homogênea associada, ou seja, resolver
r^2-2r+1=0
Esse polinômio tem raiz dupla em r=1, logo a solução geral da parte homogênea é
yh(t)=(C1+C2 t)e^t

Passo 3

Para usar variação de parâmetros, escolhemos as duas soluções independentes
y1(t)=e^t,
y2(t)=te^t
Calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)=y1y2'-y1'y2=e^tcdot(e^t+te^t)-e^tcdot(te^t)=e^2t
E a parte não homogênea é f(t)=e^t/(1+t^2).

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
I1=integral y2(t),f(t)W(t),dt=integral te^tcdote^t1+t^2e^2t,dt=integral t1+t^2,dt=tfrac12ln(1+t^2),
I2=integral y1(t),f(t)W(t),dt=integral e^tcdote^t1+t^2e^2t,dt=integral 11+t^2,dt=arctan t

Passo 5

A solução particular é
yp=-y1(t)I1+y2(t)I2=-e^tcdottfrac12ln(1+t^2)+te^tcdotarctan t
e a solução geral da EDO é
y(t)=yh(t)+yp(t)=e^tl(C1+C2t + tarctan t -tfrac12ln(1+t^2)r)

Resposta

A solução geral é
y(t)=e^tl(C1 + C2,t + tarctan t - tfrac12ln(1+t^2)r),
sem condições iniciais dadas, este é o resultado final.

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