Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
A gente tem a EDO não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes:
Temos
O conteúdo aqui é EDOs lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular (aqui usaremos variação de parâmetros).
Passo 2
Vamos achar a solução homogênea associada, ou seja, resolver
Esse polinômio tem raiz dupla em
, logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Para usar variação de parâmetros, escolhemos as duas soluções independentes
Calculamos o Wronskiano
E a parte não homogênea é
.
Passo 4
Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos
Passo 5
A solução particular é
e a solução geral da EDO é
Resposta
A solução geral é
sem condições iniciais dadas, este é o resultado final.