Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO do tipo equação de Cauchy–Euler não homogênea
precisamos encontrar a solução geral (e particular, se houvesse condições iniciais). Vamos usar: 1) solução da homogênea por substituição de Euler, 2) particular por variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
:
Aqui
,
e
.
Passo 3
Para a EDO homogênea associada
usamos a substituição
. Isso gera a equação característica
$$
m(m-1)-3m+3=0\quad\Longrightarrow\quad m^2-4m+3=0
y_1=t,
\quad y_2=t^3.
$$
Passo 4
Agora aplicamos variação de parâmetros. O Wronskiano é
As fórmulas para as funções
e
são
Passo 5
Calculamos
e
:
Integrando obtemos
Passo 6
A solução particular fica
Passo 7
Assim a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Passo 8
Resposta
y(t)=C_1t+C_2t3+et(2t^2-2t)