Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
t^2 y^prime prime-3 t y^prime+3 y=2 t^4 e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO do tipo equação de Cauchy–Euler não homogênea
t^2y''-3ty'+3y=2t^4e^t
precisamos encontrar a solução geral (e particular, se houvesse condições iniciais). Vamos usar: 1) solução da homogênea por substituição de Euler, 2) particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por t^2:
y''-3ty'+3t^2y=2t^2e^t
Aqui p(t)=-3/t, q(t)=3/t^2 e g(t)=2t^2e^t.

Passo 3

Para a EDO homogênea associada
y''-3ty'+3t^2y=0
usamos a substituição y=t^m. Isso gera a equação característica
$$
m(m-1)-3m+3=0\quad\Longrightarrow\quad m^2-4m+3=0 m(m-1)-3m+3=0Longrightarrow m^2-4m+3=0áçõãy_1=t,
\quad y_2=t^3.
$$

Passo 4

Agora aplicamos variação de parâmetros. O Wronskiano é
W=y1y2'-y1'y2=tcdot3t^2-1cdot t^3=2t^3
As fórmulas para as funções u1'(t) e u2'(t) são
u1'=-y2,g(t)W, u2'=y1,g(t)W

Passo 5

Calculamos u1' e u2':
u1'=-t^3cdot2t^2e^t2t^3=-t^2e^t, u2'=tcdot2t^2e^t2t^3=e^t
Integrando obtemos
u1=-integral t^2e^t,dt=-(t^2-2t+2)e^t, u2=integral e^t,dt=e^t

Passo 6

A solução particular fica
yp=nu1y1+nu2y2=-(t^2-2t+2)e^tcdot t+e^tcdot t^3=e^t(2t^2-2t)

Passo 7

Assim a solução geral é a soma da homogênea com a particular:

Passo 8

Resposta

y(t)=C_1t+C_2t3+et(2t^2-2t)

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