Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
3 x^{2}-2 x y+2+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
3 x^{2}-2 x y+2+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) \frac{d y}{d x}=0.
O que se pede: determinar a solução geral da equação diferencial. Não foram dadas condições iniciais (PVI), logo não há solução particular a calcular aqui.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita na forma
M(x,y)+N(x,y)\,\frac{d y}{d x}=0,
onde M(x,y) e N(x,y) são funções polinomiais em x e y.
  • Escrever essas funções explicitamente será útil para prosseguir.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão identificamos
M(x,y)=3x^{2}-2xy+2, \qquad N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3,
de modo que a equação é
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
Explicação didática: aqui M(x,y) é a função que multiplica dx se considerássemos a forma diferencial M\,dx+N\,dy=0; N(x,y) é a função que multiplica dy. Um caminho comum para equações nessa forma é testar se a equação é exata — se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy. Se for exata, a solução geral é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Teste de exatidão: calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(3x^{2}-2xy+2\right)=-2x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(6y^{2}-x^{2}+3\right)=-2x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=-2x,
a equação é exata em qualquer região onde M e N são diferenciáveis (aqui, polinômios, então em todo \mathbb{R}^2). Isso garante a existência local de uma função \Phi(x,y) com
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral será \Phi(x,y)=C.
Didática: o teste de exatidão é rápido — comparar \partial M/\partial y com \partial N/\partial x. Se iguais, prosseguir encontrando \Phi. Se não iguais, em provas muitas vezes procura-se um fator integrante; aqui não é necessário.

Passo 4

Determinar a função potencial \Phi(x,y) integrando M em relação a x e introduzindo uma função arbitrária de y (pois ao derivar em x essa função some):
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\left(3x^{2}-2xy+2\right)\,dx.
Calculemos termo a termo:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}, \qquad \int (-2xy)\,dx = -x^{2}y, \qquad \int 2\,dx = 2x.
Portanto, após a integração obtemos
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração relativa à integração em x).
Explicação didática: sempre que integrar M em x, qualquer termo que dependa só de y aparece como possível termo constante (da perspectiva de x), por isso h(y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \partial \Phi/\partial y=N(x,y). Primeiro calculemos \partial \Phi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(x^{3}-x^{2}y+2x+h(y)\right)=-x^{2}+h'(y).
Igualando a N(x,y) dado no enunciado:
-x^{2}+h'(y)=6y^{2}-x^{2}+3.
Cancelam os -x^{2} dos dois lados, restando
h'(y)=6y^{2}+3.
Agora integramos em relação a y:
h(y)=\int\left(6y^{2}+3\right)\,dy=2y^{3}+3y + C_0,
onde C_0 é uma constante. Podemos omitir C_0 agora porque será combinada com a constante geral da solução final.

Passo 6

Substituindo h(y) em \Phi(x,y) obtemos a função potencial completa:
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C,
onde C é constante arbitrária.
Verificação curta (didática): derivando implicitamente \Phi(x,y)=C em relação a x tem-se
\frac{\partial \Phi}{\partial x}+ \frac{\partial \Phi}{\partial y}\,y'=0,
o que é exatamente M+N y'=0, recuperando a equação original, portanto a solução está correta. Se fosse necessário obter y explicitamente, haveria que resolver um polinômio cúbico em y, o que geralmente não é prático nem exigido em provas; a forma implícita é a resposta adequada e aceita.

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C

Exercícios relacionados