Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais de PVI, determine também a solução particular.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
O que se pede: determinar a solução geral da equação diferencial. Não foram dadas condições iniciais (PVI), logo não há solução particular a calcular aqui.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser escrita na forma
onde
e
são funções polinomiais em
e
.
- Escrever essas funções explicitamente será útil para prosseguir.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma padrão identificamos
de modo que a equação é
Explicação didática: aqui
é a função que multiplica
se considerássemos a forma diferencial
;
é a função que multiplica
. Um caminho comum para equações nessa forma é testar se a equação é exata — se existe uma função potencial
tal que
. Se for exata, a solução geral é dada implicitamente por
.
Passo 3
Teste de exatidão: calcular as derivadas parciais
Como
a equação é exata em qualquer região onde
e
são diferenciáveis (aqui, polinômios, então em todo
). Isso garante a existência local de uma função
com
e a solução geral será
.
Didática: o teste de exatidão é rápido — comparar
com
. Se iguais, prosseguir encontrando
. Se não iguais, em provas muitas vezes procura-se um fator integrante; aqui não é necessário.
Passo 4
Determinar a função potencial
integrando
em relação a
e introduzindo uma função arbitrária de
(pois ao derivar em
essa função some):
Calculemos termo a termo:
Portanto, após a integração obtemos
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração relativa à integração em
).
Explicação didática: sempre que integrar
em
, qualquer termo que dependa só de
aparece como possível termo constante (da perspectiva de
), por isso
.
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Primeiro calculemos
a partir da expressão encontrada:
Igualando a
dado no enunciado:
Cancelam os
dos dois lados, restando
Agora integramos em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos omitir
agora porque será combinada com a constante geral da solução final.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária.
Verificação curta (didática): derivando implicitamente
em relação a
tem-se
o que é exatamente
, recuperando a equação original, portanto a solução está correta. Se fosse necessário obter
explicitamente, haveria que resolver um polinômio cúbico em
, o que geralmente não é prático nem exigido em provas; a forma implícita é a resposta adequada e aceita.