Resolva as seguintes EDOs exatas.
\left(y \cos x+2 x e^{y}\right) d x+\left(\sin x+x^{2} e^{y}-1\right) d y=0
(Sol. y \sin x+x^{2} e^{y}-y=c )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO exata
\bigl(y\cos x+2x e^{y}\bigr)\,dx+\bigl(\sin x+x^{2}e^{y}-1\bigr)\,dy=0.
Aqui temos M(x,y)=y\cos x+2x e^{y} e N(x,y)=\sin x+x^{2}e^{y}-1. Para equações exatas, precisamos que
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Quando isso vale, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi=M\,dx+N\,dy, e a solução geral é \Psi(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos x+2x e^{y}\bigr) =\cos x+2x e^{y},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin x+x^{2}e^{y}-1\bigr) =\cos x+2x e^{y}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Construímos \Psi(x,y) integrando M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(y\cos x+2x e^{y}\bigr)\,dx =\int y\cos x\,dx+\int 2x e^{y}\,dx.
Como y é constante nessa integração,
\int y\cos x\,dx =y\sin x, \qquad \int 2x e^{y}\,dx =x^{2}e^{y}.
Então
\Psi(x,y)=y\sin x+x^{2}e^{y}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), impomos \partial\Psi/\partial y=N:
\frac{\partial\Psi}{\partial y} =\sin x+x^{2}e^{y}+h'(y) \overset{!}{=}\sin x+x^{2}e^{y}-1.
Daí vem
h'(y)=-1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-y+\text{const}.

Passo 5

Substituindo h(y)=-y em \Psi, obtemos a função potencial
\Psi(x,y)=y\sin x+x^{2}e^{y}-y.
A solução geral implícita é
\Psi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad y\sin x+x^{2}e^{y}-y=C.

Resposta

y\sin x+x^{2}e^{y}-y=C.

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